Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning uzluksizligi. Tekis uzluksizlik. Kantor teoremasi Ma’ruza Reja

2⁰. Uzluksiz funksiyalarning sodda xossalari. Faraz qilaylik, va funksiyalar to‘plamda berilgan bo‘lib, nuqtada uzluksiz bo‘lsin. U holda

funksiyalar ham nuqtada uzluksiz bo‘ladi, bunda
Bu tasdiqning isboti 15-ma’ruzadagi mos tasdiqning isboti kabidir.
Aytaylik,
(2)
funksiyalarning har biri to‘plamda aniqlangan bo‘lsin. Bu (2) munosabat natijasida to‘plamning har bir nuqtasiga mos keluvchi fazoning nuqtasi hosil bo‘ladi. Bunday nuqtalar to‘plamini deylik. Ravshanki, bo‘ladi.
Faraz qilaylik, to‘plamda

funksiya aniqlangan bo‘lsin. Natijada

ya’ni

bo‘lib,

funksiya hosil bo‘ladi. Uni murakkab funksiya deyilar edi.
1-teorema. Agar

funksiyalar nuqtada uzluksiz, funksiya nuqtada uzluksiz bo‘lsa, u holda murakkab funksiya nuqtada uzluksiz bo‘ladi.
Shartga ko‘ra funksiya nuqtada uzluksiz. Unda ta’rifga binoan
(3)
bo‘ladi. Ravshanki.
(4)
bo‘ladi.
Shartga ko‘ra funksiyalar nuqtada uzluksiz. Ta’rifga ko‘ra uchun shunday topiladiki,

bo‘ladi,
Endi deb olamiz. U holda va barcha lar uchun
, ya’ni
bo‘ladi. (3) va (4) munosabatlardan uchun

bo‘lishi kelib chiqadi. Demak, murakkab funksiya nuqtada uzluksiz.
3⁰. To‘plamda uzluksiz bo‘lgan funksiyalarning xossa-lari. Endi to‘plamda uzluksiz bo‘lgan funksiyalarning xossa-larini keltiramiz.
2- teorema. Agar funksiya chegaralangan yopiq to‘plamda uzluksiz bo‘lsa, funksiya da chegaralangan bo‘ladi.
Aytaylik, funksiya shu to‘plamda chegaralanmagan bo‘lsin. Unda

bo‘ladi. Ravshpnki, ketma-ketlik chegaralangan. Bolsano-Veyershtrass teoremasiga ko‘ra yaqinlashuvchi

qismiy ketma-ketlik mavjud:
da va
Ayni paytda, funksiyaning da uzluksizligidan
da .
bo‘lishi kelib chiqadi. Bu esa
da
deyilishiga zid. Ziddiyat funksiyaning da chegaralan-magan deyilishidan kelib chiqdi. Demak, funksiya da chegaralangan.