Котова лидия Владимировна

4
+n
2
+1 является 
простым? 
o
На какую цифру заканчиваются простые числа, их квадраты, 
кубы? 
o
Приведите пример произведения простых чисел, кратного 
каждому из входящих в него простых чисел, уменьшенному на 1? 
o
Найдите наибольшую натуральную степень простого числа p, на 
которую может делиться число p!  
Эти задания являются составляющими олимпиадных задач для 
школьников и теоретико-числовых задач вариантов ЕГЭ по математике.
• Задачи с рекуррентными последовательностями (модуль М8). 

---

141 
o
Укажите количество последовательностей, которых можно 
получить с помощью уравнения 
δ
δ
δ
δ
δ
x
x
x
x
x
+
+
+
+
=
+
+
+
4
1
2
3
, если 
первые 4 члена последовательности равны 0 и 1. 
o
Вычислите первые 10 членов последовательности: 
[
] [
]
0
,
10
10
10
)
1
≥
⋅
−
⋅
=
−
n
a
а
n
n
n
π
π
; 
.
)
(
)
);
2
,
(
,
1
,
0
)
2
1
1
1
0
n
a
в
a
a
rest
a
a
a
б
n
n
n
n
μ
=
+
=
=
=
−
+
Подобного рода задачи расширяют представления школьников о 
рекуррентных последовательностях. Изучение прогрессий на уроках 
математики и программная реализация построения рекуррентных 
последовательностей на уроках информатики могут дополнить друг друга и 
способствовать реализации межпредметных связей в школе.
3.3.3. Для задач второго типа необходимо «практическое начало». Например, 
проанализируем следующую задачу.
Буквы исходного сообщения заменили их двузначными номерами в 
русском алфавите таким образом, что А=01, Б=02, …, Я=33. Полученную 
числовую последовательность разбили на трехзначные числа. Каждое такое 
трехзначное число умножили на 77, после чего от произведения оставили 
только три последние цифры. Восстановите сообщение, если в результате 
получилась последовательность «317564404970017677550547850355».
Для помощи в решении этой задачи могли бы пригодиться начала 
теории сравнений. Причем необходима весьма небольшая «выжимка» из 
теории сравнений (достаточно определения и основных свойств). ОП-задание 
(ПИ-уровня) заключается в поиске этой «выжимки». При правильном отборе 
материала для знакомства с этой теорией школьникам достаточно не более 2-
3 занятий, и, в результате, ряд задач школьных олимпиад по математике и 
криптографии могут быть решены с меньшими выкладками и описаниями. 
Еще один подобный пример.
Разобрать доказательство теоремы Ферма на бусинах американского 
математика С. Голоба. 

---

142 
ОП-задание для студентов заключается в приготовлении презентации 
этого доказательства для школьников.
Задания ОП-типа, также как и задания Т- и П-типа, имеют выраженные 
уровни ПО СПД. На основании классификации, приведенной ранее, можно в 
рамках одного задания включить повышающие уровень пункты выполнения 
(табл. 3.3.1).
Таблица 3.3.1. 
ОП-задание с повышающимся уровнем ПО СПД на базе ЛИР № 11 
«Классические методы факторизации» (модуль М7) 
Уровень 
Задание 
Р 
Сформулируйте методы факторизации натуральных чисел на 
множители, которые опираются на школьную программу. 
РП 
Приготовьте числа (не более чем четырехзначные) для 
демонстрации работы методов (удачной и неудачной). 
ПИ 
Сформулируйте правило выбора метода для школьников 
(набор рекомендаций). 
ИП 
Приготовьте выборку материала для проведения занятия в 7-8 
классе по теме «Факторизация»: теория, примеры, задания для 
учащихся. С какими темами из программы по математике и 
информатике этих классов вы могли бы связать свой материал? 
При этом в приведенной нами выше классификации ОП-заданий чаще 
всего практические задания имеют репродуктивный или репродуктивно-
поисковый уровень (исключения могут составить сложные олимпиадные 
задачи), а дидактические – РП-, ПИ- и ИП-уровень. 
3.3.4. В процессе выполнения ЛИР задания последовательно 
наращивают уровень ПО СПД и только после решения практического 
задания можно приступать к решению дидактического. Ярким примером 
таких заданий являются повседневные (экономические) примеры и 
основанные на них ОП-задания.
o
Как вычислить стертую цифру на кредитной карте? 
o
Как проверить подлинность штрих кода на товаре? 
o
Как восстановить невидимую цифру на корректном штрих коде? 
Для решения этих задач вполне достаточно простенькой таблицы в 
программе EXCEL. Номера пластиковых карт и штрихкоды на товаре 

---

143 
обязательно имеют контрольную цифру, вычисление которой построено на 
простейших арифметических операциях. На рисунке 3.3.1 представлена 
таблица с командами программы EXCEL по расчету контрольной цифры 
штрихкода товара (код EAN-13, наиболее часто используемый). Реализовать 
ее могут ученики, имеющие самые начальные представления о работе с 
такими таблицами. 
B 
C 
D 
T 
F 
G 
H 
I 
J 
K 
L 
M N O 
P 
Q 
R 
2 
3 
Страна 
Компания 
Продукт 
КЦ 
4 
3 
4 
1 
0 
4 
5 
8 
3 
2 
5 
9 
2 
= R10 
5 
6 
Сумма цифр на нечетных позициях
=C4+F4+H4+J4+M4+O4 
7 
Сумма цифр на четных позициях и результат, умноженный 
на 3 
=(C4+F4+H4+K4+M4+O4)*3 
8 
Сумма двух предыдущих результатов 
=R6+R7 
9 
Остаток предыдущего результата деленного 
на 10
=ОСТАТ(R8;10) 
10 
Контрольная цифра ‐ это 0 или 10 ‐ предыдущий результат
=ЕСЛИ(R9=0;0;10‐R9) 
Рис. 3.3.1. Программа расчета контрольной цифры штрихкода 
Результаты работы такой таблицы представлены на рисунке 3.3.2. 
Отметим, что решение таких задач и интересно, и познавательно, и 
практично. Они позволяют вызывать интерес у школьников к изучению 
стандартных приложений, а учителям позволяют организовать практико-
ориентированное занятие по отработке навыков работы в программе EXСEL. 
B 
C
D 
T 
F 
G
H
I
J
K
L
M
N 
O 
P 
Q 
R
2 
3 
Страна 
Компания 
Продукт 
КЦ 
4 
3
4 
1
0
4
5
8
3
2
5 
9 
2 
6
5 
6 
Сумма цифр на нечетных позициях 
27
7 
Сумма цифр на четных позициях и результат, умноженный на 3 
57
8 
Сумма двух предыдущих результатов
84
9 
Остаток предыдущего результата деленного на 10 
4
10 
Контрольная цифра ‐ это 0 или 10‐ предыдущий результат
6
Рис. 3.3.2. Пример расчета контрольной цифры штрихкода 
Задания для студентов, основанные на этой задаче, можно увидеть в 
таблице 3.3.2. 

---

144