Котова лидия Владимировна

 
3.2.3. 
бной дея
ретическо
славливаю
ечном сч
рия сравнен
рия индекс
менные оц
жности 
оритмов. 
вдопростые
ла. 
тоды 
торизации.
ечные поля
огочлены 
ечным поле
Как уже
тельности
ом, 
пр
ют форм
чете, уча
бигр
ний.
ов. 
Пои
элем
Нах
перв
корн
пост
табл
енки Сис
счис
Оце
слож
алго
е 
Опр
псев
чисе
Спе
псев
При
разл
мето
оцен
я. 
над 
ем. 
Пос
коне
Нах
поря
мно
коне
не раз 
и лабора
рактическ
мирование
аствуют 
12
раммами. 
иск обрат
ментов. 
хождение 
вообразных
ней, 
троение 
лиц индекс
стемы 
сления. 
енка 
жности 
оритмов. 
ределение 
вдопростых
ел. 
ециальные 
вдопростые
именение 
личных 
одов и 
нка. 
строение 
ечного пол
хождение 
ядка 
огочлена 
ечным пол
отмечал
аторно-ис
ком 
и 
е ППК м
в форм
5 
2)На
17
14
⎜⎜
⎝
⎛
ных 
х 
сов. 
1) В
моду
а) на
б) у
шиф
2) Со
моду
осно
вели
отрез
1)Вы
осно
2)На
двои
вычи
х 
е. 
1) П
псев
Найд
осно
2) Пр
2821
их 
1) На
ли он
квадр
2) Ф
мето
прос
чисе
выпо
ля. 
над 
ем. 
1)До
6
+
x
поле
2)Зн
непр
поря
(
7
x
x
лось, мы 
следовате
общеп
модулей, 
мировании
айдите бигр
10
11
≡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
•
⎟⎟
⎠
⎞
y
x
В системе «
улю 259: 
айдите две 
укажите ко
фрующих кл
оставьте та
улю 13, исп
ования наиб
ичине перво
зка [0;10]. 
ыразите 10
ованием 2, 7
айдите вер
ичных опе
исления 
Проверьте, 
допростым
дите по 
ований. 
роверьте, ч
, 6601 явля
атуральное
но собствен
ратичной ф
Факторизуйт
од послед
стые (испо
ел). 
О
олненных д
окажите, 
3
5
+
+
x
x
x
ем
2
F
. 
ая, что мно
риводим н
ядок 
)
4
20
(
1
+
+
x
x
полагаем
ельские р
профессио
дисципл
и общей 
рамму из ср
(
mod
11
10
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
≡
«с открыты
различные
оличество 
лючей (с уч
аблицу инд
пользуя в к
больший по
ообразный 
6
в систем
7 , 26, 33. 
хнюю гран
ераций, не
является
м по осно
крайней м
что числа 1
яются числ
е число кра
нным пред
формой 
 x
2 
те 
n = 
249
овательног
ользуя та
Оцените 
делений. 
что 
м
1
2
+
 
неп
огочлен
4
x
над полем
2
3
+
+
x
x
x
м основн
работы, к
ональном
лины в ц
професс
равнения 
)
26
d
.
 
ым ключом
е пары ключ
возможных
четом поря
дексов по 
качестве 
о абсолютн
корень из 
мах счисле
ницу для 
еобходимых
ли числ
ованию 2, 
мере 10 
1105, 1729, 
лами Карма
атно 4. Обл
дставлением
+ y
2
? 
94633, испо
го делени
блицу про
колич
многочлен 
приводим 
2
3
4
+
+
+
x
x
м 
13
F , на
много
6
)
1
+
над 
ным видо
которые 
м 
уров
целом и, 
сиональн
м» по 
чей; 
х пар 
ядка). 
ной 
ения с 
числа 
х для 
ло 91 
3, 5. 
таких 
2465, 
айкла. 
ладает 
м 
ользуя 
ия на 
остых 
чество 
над 
1
+
+ x
айдите 
очлена
13
F . 
ом 
на 
вне 
в 
ной 

---

126 
компетентности будущего учителя информатики. Выполнение ЛИР 
предусмотрено в рамках каждого модуля.
Задания ЛИР №1
«Старинные шифры и олимпиадные задачи» (Модуль М1)
Уровень
задания
1
Зашифруйте свое имя, фамилию и отчество, используя один из 
шифров подстановки и один из шифров перестановки.
Р
2
Зашифруйте свое имя, фамилию и отчество, используя решетку 
Кардано. Определите количество ключей для квадратной решетки 
Кардано 6 на 8.
РП
3
Криптограмма
Йхпм кмлся цйег тердсйц
Сй уйыдпяхг, сй хйфимхя!
Ж ийся чсасмг хрмфмхя:
Ийся жйхйпяг, жйфя, сдхцдсйц.
получена «простой заменой» букв на буквы того же алфавита, (е,ё
не различают). Используя метод частотного анализа, прочтите 
четверостишие А.С.Пушкина.
ПИ
4
Придумайте свой шифр и зашифруйте известную пословицу.
ИП
ЛИР № 1.1 (РП)
Шифрование и 
дешифрование
ЛИР № 1.2 (ПИ)
Решение 
олимпиадных задач
ЛИР № 1.3 (ИП)
Конструирование 
своих методов 
шифрования
Рис.3.3.1. Задания ЛИР № 1 «Старинные шифры и олимпиадные задачи» (Модуль М1) 
При изучении модуля М1 необходимость проводить семинарские 
занятия отсутствует. И в случаях, когда позволяют аудиторные часы, задания 
ЛИР № 1 можно распределить в последовательность работ ЛИР № 1.1, ЛИР 
№ 1.2, ЛИР № 1.3 с постепенно растущим уровнем исследовательской 
активности (рис.3.3.1). Это помогает студентам плавно перейти от 
репродуктивной деятельности (воспроизведения услышанного на лекции или 
семинаре) к генерации собственных идей, выбору оптимального метода 
решения, составлению новых задач, проецированию изучаемого материала 
на будущую профессиональную деятельность.
Задания ЛИР отличаются не только уровнем проводимого студентом 

---

127 
исследования, но и целевыми аспектами. Это менее затрагивает модуль М1, 
но для всех последующих модулей - весьма актуально. 
Так, для модуля М2 теоретические задания (Т-задания) направлены на 
изучение принципа работы симметричных криптосистем; практические 
задания (П-задания) – на демонстрацию приложений изученных в теории 
чисел и алгебре разделов; общепрофессиональные задания (ОП-задания) - на 
использование полученных сведений для организации проектной 
деятельности школьников, для их подготовки к тематическим олимпиадам. 
Задания каждого вида могут быть разного уровня. 
Рассмотрим на примере Т-заданий ЛИР № 2 «Простейшие 
криптосистемы» (модуль М2), как формируется исследовательский уровень 
таких заданий (таблица 3.2.2).
Таблица 3.2.2. 
Т-задания ЛИР № 2 «Простейшие криптосистемы» (модуль М2) 
Задание 
Уровень 
Комментарий 
Найдите 
обратное 
аффинное 
преобразование для преобразования 
f(P)≡А·Р+b(mod N)
при N=30, А=17, b=2. 
Р 
Требуется воспользоваться готовыми 
формулами, 
провести 
вычисления, 
используя ранее изученные факты из 
теории сравнений. 
Сколько 
можно 
составить 
преобразований сдвига для N-
буквенного алфавита? 
РП 
Необходимо проанализировать, какие 
значения может принимать параметр 
преобразования, найти формулу для 
вычисления количества возможных 
значений этого параметра (функция 
Эйлера). 
Докажите, что если N четно, то 
линейное преобразование имеет не 
менее 
двух 
неподвижных 
элементов P (f(P)≡P(mod N)). 
ПИ 
Для 
доказательства 
необходимо 
проанализировать 
параметрическое 
сравнение, воспользоваться критерием 
разрешимости линейных сравнений и 
выделить условия, соответствующие 
четному значению параметра N. 
Привести 
пример 
аффинного 
шифрующего 
преобразования, 
которое 
имеет 
ровно 
n 
неподвижных букв. 
ИП 
Необходимо проделать тот же анализ, 
что и в предыдущем задании (ПИ), 
после 
чего 
спроектировать 
такое 
аффинное преобразование, для чего 
нужно 
будет 
учесть 
еще 
ряд 
теоретических условий. 

---

128 
Отметим также, что поочередное выполнение заданий позволит 
проходить этапы исследовательской деятельности последовательно, как бы 
наслаивая. Задания помогают пройти путь от воспроизведения теории через 
ее анализ и поиск необходимых параметров к проектированию заданной 
модели. 
При выполнении ЛИР № 4 «Система RSA и ее модификации» (модуль 
М4) П-задания в рамках одной задачи формулируются с заведомо 
повышающимся уровнем (таблица 3.2.3). 
Таблица 3.2.3. 
П-задания ЛИР № 4 «Система RSA и ее модификации» (модуль М4) 
Задание 
Уровень Комментарий 
Используя 
двузначные 
простые числа, создайте свой 
электронный адрес в системе 
«электронная 
подпись», 
выберите открытый ключ. 
Р 
Надо воспользоваться готовыми формулами и 
условиями.
Найдите второй (секретный) 
ключ. 
РП 
Надо решить сравнение, составленное по 
известным формулам. 
Отправьте 
сообщение 
абоненту-напарнику. 
Получите 
сообщение 
от 
абонента-напарника 
и 
вскройте его. 
ПИ 
Для этого необходимо определить возможный 
размер сообщения и порядок шифрования 
(дешифрования) (он зависит от соотношения 
адресов абонентов) и только после этого 
произвести 
вычисления 
(шифрование, 
дешифрование). 
Исследуйте 
возможные 
ошибки 
использования 
системы, приведите примеры 
различных 
исходов 
таких 
ошибок. 
ИП 
Задание требует привлечения и теоретических 
знаний о работе системы и творческого 
подхода к выбору примеров (этот выбор 
неоднозначен). 
На примере ЛИР № 5 «Дискретный логарифм» модуля М4 мы можем 
продемонстрировать, как Т-задания переходят в П-задания растущего уровня 
ПО СПД, способствуя последовательному овладению предметным знанием, 
позволяя делать анализ эффективности используемых алгоритмов (таблица 
3.2.4). Отметим, что задания представленной работы необходимо выполнять 
в той последовательности, в которой они представлены, так как только 
успешное выполнение предыдущего задания ведет к успешному выполнению 
последующего. 

---

129 
Таблиц 3.2.4. 
Взаимосвязь Т- и П-заданий на примере ЛИР № 5 «Дискретный 
логарифм» (модуля М4) 
Задание
Уровень 
Т-
заданий
Уровень 
П-
заданий
Комментарий 
Найти 
наибольший 
по 
абсолютной 
величине 
первообразный корень по 
модулю 13 из отрезка 
[0;10]. 
ИП
Теоретически 
задание 
довольно 
сложное. Необходимо использовать 
определение первообразного корня, 
перебирая 
классы 
вычетов 
и 
проверяя 
выполнение 
условий 
определения, найти нужный класс 
(включает несколько этапов поиска и 
анализа).
Составить 
таблицу 
индексов по модулю 13, 
используя 
в 
качестве 
основания 
найденный 
первообразный корень. 
РП
При условии успешного выполнения 
задания 1 выполнение этого задания 
носит репродуктивный характер с 
элементами поиска, обусловленными 
выполняемыми вычислениями.
Используя 
таблицу 
индексов, 
найдите 
все 
первообразные корни по 
модулю 13. 
ИП
Требует использования совокупности
свойств 
первообразных 
корней. 
Сначала необходимо понять, что 
искать, только потом поиск будет 
чисто техническим. 
Используя 
таблицу 
индексов, решите задачи 
дискретного 
логарифмирования: 
а) 
7
11
13 ; 
б) 
3
11
13 ; 
в) 
5
8
13 . 
ПИ
Задание практическое, но требует 
серьезного 
анализа 
условий 
разрешимости таких сравнений. Из 
трех представленных сравнений одно 
не имеет решений, одно имеет 
единственное решение, одно требует 
поиска наименьшего из нескольких 
решений.
Решите задачу дискретного 
логарифмирования 
любыми двумя известными 
вам способами:
9
4
53 . 
ИП
Проанализировав известные методы 
решения 
и 
условия 
данного 
сравнения, необходимо выбрать два 
удобных для решения способа и 
совместить 
ответы 
(возможно 
получение не наименьшего решения 
при 
использовании 
одного 
из 
методов, 
вследствие 
чего 
несовпадение результатов, которые 
необходимо скорректировать).
Аналогичное построение работы мы можем увидеть в ЛИР № 14 
«Построение псевдослучайной последовательности»
вариативного модуля 
М8 (таблица 3.2.5). 

---

130 
Таблица 3.2.5. 
Задания ЛИР № 14 «Построение псевдослучайной 
последовательности» (модуль М8) 
Задание 
Уровень Т-
заданий 
Уровень 
П-
заданий 
Дан характеристический многочлен f(λ) над F
2
:
а) 
запишите 
линейное 
рекуррентное 
уравнение, 
соответствующее этому многочлену; 
Р 
б) укажите число решений этого уравнения; 
РП 
в) укажите главное решение;
РП 
г) постройте регистр сдвига уравнения;
РП 
д) найдите период главного решения; 
ПИ 
е) укажите все возможные периоды решений; 
ИП 
ж) приведите примеры решений с различными периодами;
ПИ 
з) укажите все «различные решения» без учета сдвигов.
ИП 
При выполнении ЛИР № 7-12 основной целью является не решение 
задачи, а поиск оптимального алгоритма решения и обоснование выбора. 
Каждый этап задания имеет как теоретическую, так и практическую 
составляющую, уровень которых последовательно растет. Любой студент 
может справиться с работой до определенного этапа, что и определит оценку 
выполнения им работы в целом. Отметим только, что выполнение ЛИР № 7 
«Алгоритм Евклида, модификации, оптимизация» вариативного модуля М5 
может существенно помочь в осознанном теоретическом и практическом 
выборе алгоритмов в последующих работах. Последовательное выполнение 
этих работ приводит к тому, что у студентов вырабатывается навык выбора и 
его обоснования, и в каждой последующей работе студенты доходят до более 
высокого уровня выполнения задания. 
Обратим внимание на то, что мы сознательно не приводили примеры 
ОП-заданий, так как им будет посвящен отдельный параграф. 
3.2.4. В силу специфики дисциплины, основную нагрузку по 
формированию оценки уровня сформированности ППК МСЗИ, как уже 
отмечалось, несет контроль качества выполнения ЛИР в рамках изучения 
каждого модуля дисциплины.

---

131 
Оценки, полученные за каждый модуль, и индивидуальные 
рейтинговые коэффициенты составляют основную оценку студента в 
результате изучения курса.
Таблица 3.2.6.
Примеры заданий для самостоятельной работы 
Модуль Задания 
М1 1. 
Зашифруйте свои ФИО, используя шифр замены и шифр перестановки. 
2. 
Приведите пример решетки Кардано 6х4. 
3. 
Сколько различных решеток Кардано 6х4 можно составить?
М2 1. 
Зашифруйте фразу «аффинные криптосистемы», используя аффинное 
преобразование для 34-буквенного алфавита ([А;Я]=[0;32], пробел = 33) с 
ключами a=13, b=10. 
2. 
Сколько существует различных аффинных шифрующих преобразований
для N-буквенного алфавита? 
3. 
Решите систему сравнений 
⎩
⎨
⎧
≡
+
≡
+
)
47
(mod
14
31
10
)
47
mod
(
3
25
17
y
x
y
x
. 
М3 1. 
Сколько различных квадратных матриц по модулю 2N дает матрица 
по модулю N? 
2. 
Используя матрицу А=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
9
4
17
15
по модулю 26 зашифруйте слова «ДА», 
«НЕТ». 
М4 1. 
В системе "без передачи ключей" с модулем 103: 
а) найдите две различные пары ключей; 
б) укажите количество возможных пар шифрующих ключей (с учетом порядка). 
2. 
Докажите, что в качестве ключей любой из систем могут выступать 
только нечетные числа. 
3. 
Решите задачу дискретного логарифмирования любым известным вам 
способом: 
9
44
53 . 
М5 1. 
Оцените время, требующееся для перевода числа изk бит в десятичную 
систему счисления.
2. 
Оцените время, необходимое для проверки того, имеет ли число n 
простой делитель, не превосходящий m (полагаем, что имеется список таких 
простых чисел).
М6 1. 
Докажите, что никакое целое n=3p, где p- простое, большее 3, не может 
быть псевдопростым по основанию 2. 
2. 
Найдите наименьшее псевдопростое по основанию 5. 
М7 
1. 
Используя следствие к критерию Эйлера, факторизуйте 
3551. 
2. 
Факторизуйте с помощью построения n-го сдвига последовательности 
квадратов n = 391. 
М8 1. 
Чему равно число решений линейного рекуррентного уравнения над 
полем F
7
, если степень характеристического многочлена этого уравнения равна 
пяти? 
2. 
Найдите многочлен, период главного решения которого равен 15. 
В качестве вспомогательной оценки (при спорных или недостающих 
баллах) выступают баллы за самостоятельные работы (по отдельным темам, 

---

132 
не оцененным ранее), теоретические опросы (контрольные вопросы по 
каждому модулю могут также помочь студенту получить недостающие 
баллы) и онлайн тесты в системе Moodle. 
Самостоятельные работы разработаны для каждого из модулей и 
широко представлены в учебно-методических материалах (программа, 
сборник задач, учебное пособие «Теоретико-числовые основы защиты 
информации»). В пособии можно также увидеть и примеры решения ряда 
представленных задач. В самостоятельных работах представлены только 
теоретические и прикладные задания уровня не выше ИП. Их выполнение 
предусмотрено в случае, если студент по каким-либо причинам не выполнял 
ЛИР в рамках изучения данного модуля, и служит скорее оценкой освоения 
необходимого минимума (таблица 3.2.6). 
Для теоретического опроса можно использовать серию контрольных 
вопросов, которая также представлена в разработанных материалах, что 
позволяет приготовиться к опросу. Контрольные вопросы по каждому 
модулю представлены в таблице 3.2.7. 
В качестве вспомогательной оценки (при спорных или недостающих 
баллах) выступают баллы за самостоятельные работы (по отдельным темам, 
не оцененным ранее), теоретические опросы (контрольные вопросы по 
каждому модулю могут также помочь студенту получить недостающие 
баллы) и онлайн тесты в системе Moodle. 
Отметим, что работа с контрольными вопросами также помогает 
подготовиться к теоретическому зачету, если таковой предусмотрен рейтинг-
планом дисциплины. 
Еще раз заметим, что все указанные материалы представлены в 
комплексе учебных пособий, а также отражены в разработанном на 
платформе Moodle электронном курсе «Основы криптографии».
Комплекс учебных пособий и электронный курс полностью 
обеспечивают все формы контроля, предусмотренные в ходе изучения 
дисциплины МСЗИ (таблица 3.2.8). 

---

133 
Таблица 3.2.7. 
Контрольные вопросы по каждому модулю дисциплины МСЗИ 
Модуль 
Контрольные вопросы 
М1 
Чем отличаются шифры перестановки и шифры подстановки? Для каких 
шифров используется метод частотного анализа? Какие существуют способы 
для затруднения частотного анализа? Что понимают под криптостойкостью 
шифра? Чему равно количество всех ключей в шифрах-перестановках? Каким 
требованиям должен отвечать шифр? 
М2 
Что называется k-граммой? Как задаются аффинные отображения? Какие 
параметры аффинного отображения являются сменными, а какие постоянными? 
Каковы условия однозначности аффинного отображения? Какие существуют 
частные случаи аффинного отображения? Является ли обратное отображение к 
аффинному аффинным? Как найти отображение, обратное к аффинному? 
Сколько элементов необходимо угадать, чтобы вскрыть: а) линейное 
отображение; б) сдвиг; в) произвольное аффинное отображение? 
М3 
Что представляет собой k-грамма при матричном шифровании? При каком 
условии существует обратная матрица по модулю N? Как найти квадратную 
обратную матрицу по модулю N? В чем отличие работы с матричной и 
классической формами аффинных преобразований? Как найти обратное 
матричное аффинное отображение? Какое минимальное количество биграмм 
необходимо угадать для вскрытия линейного матричного шифрования; 
матричного сдвига; аффинного матричного шифрования? 
М4 
Чем идентификация отличается от аутентификации? В чем заключается смысл 
понятия «односторонняя функция»? Как найти ключи для системы «без 
передачи ключей»? В чем слабые стороны использования системы RSA? Что 
называют электронной подписью? Почему важен порядок использования 
ключей при работе с электронной подписью? Что такое дискретный логарифм? 
Как таблицы индексов могут помочь в нахождении дискретного логарифма? 
Почему таблицы индексов нельзя применить для больших модулей? Какие 
современные способы нахождения дискретного логарифма вам известны? 
М5 
От чего зависит время работы алгоритмов? Какие операции в программе 
выполняются за пренебрежимо малое время? Как связаны длина числа и
основные арифметические операции, выполняемые над этими числами? Какие 
способы ускорения простейших алгоритмов вы знаете? Когда обычный 
алгоритм Евклида опережает бинарный? Однозначно ли представление 
наибольшего общего делителя двух чисел в виде линейной комбинации? Что 
такое 
полиномиальный 
и 
неполиномиальный 
алгоритм? 
Какие 
неполиномиальные алгоритмы вы знаете? Что такое вероятностный алгоритм? 
Какие вероятностные алгоритмы вам известны? 
М6 
Какие критерии простоты вам известны? Какие тесты на простоту вам 
известны? Чем тест отличается от критерия? Является ли оптимизацией 
алгоритмов проверки чисел на простоту предварительное применение к этим 
числам признаков делимости на другие числа? Какое число называют 
псевдопростым? Укажите основания, по которым данное натуральное число 
будет псевдопростым; эйлеровым псевдопростым; сильным псевдопростым.  
М7 
Любое ли натуральное число можно факторизовать, почему? Какие методы 
факторизации натуральных чисел вам известны? Как выбрать метод 
факторизации для конкретного числа? Какие современные методы 
факторизации вам известны? 
М8 
Какую мощность могут иметь конечные поля? Как построить псевдослучайную 

---

134 
последовательность с заданным периодом? Существует ли такие натуральные 
числа, что псевдослучайной последовательности с таким периодом не 
существует? 
Таблица 3.2.8. 
Обеспеченность форм контроля по дисциплине МСЗИ 
Учебное пособие «Теоретико-
числовые основы защиты 
информации» 
Сборник 
задач 
Электронный 
курс 
ЛИР + 
+ 
+ 
Самостоятельные 
работы 
+ + 
+ 
Зачет (опрос) + 
+ 
+ 
Тесты
+ 
Для проведения комплексного тестирования удобно воспользоваться 
возможностями электронного курса. В рамках работы с ним можно 
проводить как онлайн тестирование во время занятий, так и предоставить 
возможность студентам пройти тест в удобное для них время. Для этого 
тестирование открывается на определенный срок с возможностью 
однократного прохождения за установленное время. 
Рис. 3.2.2. Элемент расширенного отчета о выполнении онлайн теста студентами 
На рисунке 3.2.2 представлен скриншот отчета о выполнении группой 
онлайн тестирования. По отчету можно видеть не только окончательный 
результат каждого, но и количество времени, затраченное на попытку, а 

---

135 
также проанализировать результаты ответов на каждый вопрос теста. 
Система дает сразу и статистическую обработку результатов тестирования 
группы. На рисунке 3.2.3 представлен качественный отчет о результатах 
прохождения онлайн теста группой из 27 человек. 
Рис. 3.2.3. Качественный отчет о прохождении группой онлайн теста 
Также система дает расширенный отчет по каждому студенту. Это 
позволяет после прохождения теста разобрать индивидуально с каждым его 
ошибки и предоставить возможность пройти его заново. Вопросы 
выбираются тестом случайным образом из банка вопросов, в котором они 
разбиты на пять блоков, соответственно изученным модулям. В 
представленном ниже отчете на рисунке 3.2.4 отражены результаты одного 
из студентов.
В представленном обзоре первый вопрос соответствует модулю М5, 
второй – модулю М3, третий – модулю М1, четвертый – модулю М2, пятый – 
модулю М4. Порядок модулей также выбирается случайным образом.

---

136 

---

137 
Рис. 3.2.4. Анализ выполнения онлайн теста одним из студентов 
Всевозможные тесты позволяют сэкономить время на проведение 
письменных опросов на занятиях. Студенты имеют возможность сразу 
увидеть свои результаты с указанием, а в некоторых случаях и разбором, 
допущенных ошибок.