Kriptografiya va kriptoanaliz” mutaxassisligi “Avtomatlar nazaryasi” fanidan

Laplas o'zgartirish jadvali
Har doim muhandis uchun mavjud bo'lgan jadval mavjud bo'lib, unda Laplas o'zgarishlari haqida ma'lumot mavjud. Quyida Laplas o'zgartirish jadvaliga misol keltirilgan. Turli umumiy funktsiyalarning Laplas konvertatsiyasi haqida biz quyidagi jadvaldan bilib olamiz.


















Laplas transformatsiyasining ta'rifi
Laplas konvertatsiyasini o'rganayotganda, nafaqat jadvallarni, balki formulani ham tushunish muhimdir. Laplas o'zgartirish formulasini tushunish uchun: Avval f(t) t ning funksiyasi bo'lsin, barcha t ≥ 0 uchun vaqt. U holda f(t), F(s) ning Laplas konvertatsiyasini quyidagicha aniqlash mumkin


Agar integral mavjud bo'lsa. Bu erda Laplas operatori, s = s + jō; haqiqiy yoki kompleks bo'ladi j = √(-1) Laplas o'zgartirish usulining kamchiliklari -Laplas o'zgarishlari faqat murakkab differentsial tenglamalarni echish uchun ishlatilishi mumkin va barcha ajoyib usullar singari, unchalik katta bo'lmasligi mumkin bo'lgan kamchilikka ega. Ya'ni, bu usuldan faqat ma'lum konstantalar BILAN differensial tenglamalarni yechish uchun foydalanish mumkin. Agar sizda ma'lum konstantalarsiz tenglama mavjud bo'lsa, unda bu usul foydasiz va siz boshqa usulni topishingiz kerak bo'ladi.

Laplas transformatsiyasiga misollar

Laplas transformlari yordamida tenglamani yeching,

Yuqoridagi jadvaldan foydalanib, tenglamani Laplas shakliga aylantirish mumkin:


Savolda keltirilgan ma'lumotlardan foydalanib, Laplas shaklini soddalashtirish mumkin.


Savolda keltirilgan ma'lumotlardan foydalanib, Laplas shaklini soddalashtirish mumkin.


ga bo'lish (s² + 3s + 2) beradi



Buni qisman kasrlar yordamida hal qilish mumkin, bu avvalgi shaklda echishdan osonroqdir. Birinchidan, maxraj faktorlarga ajratilishi kerak.


O'zaro ko'paytirish quyidagilarni beradi:


Savolda keltirilgan ma'lumotlardan foydalanib, Laplas shaklini soddalashtirish mumkin.

ga bo'lish (s² + 3s + 2) beradi



Buni qisman kasrlar yordamida hal qilish mumkin, bu avvalgi shaklda echishdan osonroqdir. Birinchidan, maxraj faktorlarga ajratilishi kerak.

O'zaro ko'paytirish quyidagilarni beradi:



Keyinchalik A va B koeffitsientlarini topish kerak



Tenglamada almashtirish:



Keyin yuqorida keltirilgan jadvaldan foydalanib, bu tenglamani yana normal shaklga aylantirish mumkin.
O'zingizni sinab ko'rish uchun misollar
Quyidagining teskari Laplas o'zgarishini hisoblang va yozing, ya'ni


Yechimlar:


Keling, ba'zi bir ishlangan laplas transformatsiyasi misollarini ko'rib chiqaylik:
Bu yerda, F(s) f(t) vaqt sohasi funksiyasining Laplas shaklidir. f(t) ning amal qilish muddatini toping.


Yechim.


Endi, F(lar) ning teskari Laplas transformatsiyasi


ning teskari Laplas aylantirish funksiyasini toping

Endi, Yechim

Demak,

3) Differensial tenglamani yeching

Yechim
Bizga ma'lumki, Laplasning o'zgarishi

4) Differensial tenglamani yeching,


Yechim
Biz bilganimizdek,




5) Quyidagi sxema uchun Laplace Transform texnikasi yordamida kondensatorning dastlabki zaryadlash oqimini hisoblang.


Yechim
Yuqoridagi rasmni Laplas shaklida qayta chizish mumkin,




Endi, dastlabki zaryadlash oqimi,


6) Yakuniy barqaror holat toki uchun Laplas transformatsiyasidan foydalanib, elektr zanjirini yeching


Yechim
Yuqoridagi sxemani Kirchhoff kuchlanish qonuni yordamida tahlil qilish mumkin va keyin biz olamiz

Stabil holatdagi oqimning yakuniy qiymati


7) Sistema munosabat bilan ifodalanadi


Bu yerda, R(s) birlik qadam funksiyasining Laplas shaklidir. t → ∞ da x(t) qiymatini toping.
R(s) birlik pog‘onali funksiyaning Laplas shakli bo‘lgani uchun uni quyidagicha yozish mumkin

Yechim

8) f(t) vaqt sohasi funksiyasi uchun f(t), f‘(t) va f“(t) ni toping. Funktsiyaning Laplas o'zgartirish shakli quyidagicha berilgan


Boshlang'ich qiymat teoremasini qo'llash orqali biz quyidagilarga erishamiz:




Boshlang'ich qiymat teoremasini qo'llagan holda, biz quyidagilarni olamiz:



9) f(t) ning Laplas konvertatsiyasi quyidagicha ifodalanadi:


Yakuniy qiymat teoremasi, shuningdek yakuniy qiymatni topishning an'anaviy usuli yordamida tenglamaning yakuniy qiymatini toping.
Yechim




Demak, ikkala usuldan ham funktsiyaning yakuniy qiymati bir xil bo'lishi isbotlangan.
10) Funksiyaning teskari Laplas transformatsiyasini toping,


Yechim
F(lar) quyidagicha qayta yozilishi mumkin,



11) ning teskari Laplas konvertatsiyasini toping

Yechim
F(lar) quyidagicha qayta yozilishi mumkin,