Kurs ishi mavzu: Tenglamalarni kvadrat radikallarda yechish bajardi

Haqiqiy koeffitsientli uchinchi darajali tenglamalarni tekshirish.
Endi haqiqiy koeffitsientli uchinchi darajali tenglama ildizlarini tekshiraylik. Quyidagi teorema uchinchi darajali tenglamaning haqiqiy va mavhum ildizlari sonini aniqlaydi.
Teorema. Agar
(11)
tenglama haqiqiy koeffitsientli tenglama bo’lib,

bo’lsa, u holda quyidagi mulohazalar o’rinli bo’ladi:

1. 
   bo’lsa, (11) tenglama bitta haqiqiy yoki ikkita o’zaro qo’shma mavhum ildizlarga ega;
   
2. 
   bo’lsa, (11) tenglamaning ildizlari haqiqiy va kamida bittasi karrali;
   
3. 
   bo’lsa, (11) tenglamaning ildizlari haqiqiy va turlicha bo’ladi.
   

Isboti. a) bo’lsa, u holda va ildizlar haqiqiy va xar hil bo’ladi.
Demak, ildizlardan kamida bittasi, masalan noldan farqli bo’ladi.
soni ning arifmetik ildizi bo’lsin. Shuning uchun u haqiqiy son bo’ladi. tenglikka asosan v ham haqiqiy son bo’ladi. bo’lganligi sababli bo’ladi, bunda munosabatning o’rinli ekanligi ravshan. (10) ga asosan
(12)
bo’lib, u va v lar hamda haqiqiy turli sonlar bo’lgani uchun (12) da haqiqiy, va lar o’zaro qo’shma mavhum sonlar bo’ladi.
b) bo’lsin. Agar va bo’lsa, u holda bo’ladi. son ning arifmetik ildizi bo’lsin. haqiqiy son bo’lgani uchun haqiqiy son bo’ladi, ya’ni bo’ladi. (12) formulaga asosan bo’ladi. Shunday qilib bo’lganda (11) tenglama uchta haqiqiy ildizga ega va ulardan bittasi karrali bo’ladi.
Agar va q=0 bo’lsa, u holda p=0 bo’ladi. Bu holda (11) tenglama ko’rinishda bo’lib, bo’ladi.
c) bo’lsin. U holda bo’ladi. Demak, sonlari o’zaro qo’shma mavhum sonlar ekan. Shuning uchun ham
(13)
va
(14)
munosabat o’rinli. (6) va (8) ga ko’ra
(15)
bo’lgani uchun (13) va (15) dan bo’lib, bundan
(16)
kelib chiqadi. (14) ga asosan munosabat o’rinlidir. (6) ga ko’ra bo’lib, bundan kelib chiqadi. Shartga asosan p. (16) ga ko’ra
(17)
tenglik bajariladi. (15) va (17) larga asosan
ya’ni
(18)
tenglik o’rinlidir. (12) formuladagi v ni bilan almashtirsak va ni e’tiborga olsak, ildizlar haqiqiy va har xil ekanligi ma’lum bo’ladi. Haqiqatdan ham (12) formuladan ekanligi kelib chiqadi. Faraz qilaylik, bo’lsin. U holda (9) ga asosan bo’lib bundan yoki kelib chiqadi. Bundan va tengliklar kelib chiqadi. Bu esa shartga qarama-qarshidir. Xuddi shuningdek ekanligini ko’rsatish mumkin.