Kurs ishi mavzu: Tenglamalarni kvadrat radikallarda yechish bajardi

To’rtinchi darajali tenglamalarni yechish.
To’rtinch darajali tenglamalarni yechishning Ferrari usuli bilan tanishib chiqamiz. Bu usul bo’yicha to’rtinchi darajali tenglamani yechish biror yordamchi uchinchi darajali tenglamani yechishga keltiriladi.
Kompleks koeffitsientli 4-darajali tenglama ushbu
(1)
ko’rinishida berilgan bo’lsin. (1) ni

ko’rinishida yozib olib, uning ikkala tomoniga hadni qo’shamiz va ushbu ko’rinishdagi tenglamani hosil qilamiz:
(2)
(2) tenglamaning ikkala tomoniga hdni qo’shib ushbu
(3)
tenglamani hosil qilamiz. (3) ning chap tomonida to’la kvadrat hosil bo’ladi. O’ng tomonidagi uchxad esa y parametrga bog’liq. Undagi y parametrni shunday tanlab olamizki, natijada (3) ning o’ng tomoni to’la kvadrat bo’lsin. Ma’lumki uchxad to’la kvadrat bo’lishi uchun bo’lishi yetarli. Haqiqatdan ham, bu shart bajarilsa, bo’ladi va
, ya’ni

tenglamaga ega bo’lamiz. Demak, y ni shunday tanlab olamizki, natijada
(4)
shart bajarilsa, ya’ni y ga nisbatan uchinchi darajali tenglama hosil bo’ladi. (4) shart bajarilsa, u holda (3) ning o’ng tomoni to’liq kvadratga aylanadi. (4) tenglamani yechib uning bitta ildizi ni topamiz va uni (3) tenglamadagi y o’rniga qo’yamiz. U holda
(5)
tenglamani hosil qilamiz. (5) tenglamani yechganda quyidagi kvadrat tenglamalar sistemasi hosil bo’ladi:
(6)
Bu yerda
Bu sistemani yechib, berilgan (1) tenglamaning barcha yechimlarini topamiz.
Misollar.
1. tenglamani yeching.
Yechilishi: Bu yerda degan almashtirish olamiz. U holda tenglama hosil bo’ladi. Demak, bizda va dan ni hosil qilamiz. bo’lgani uchun berilgan tenglamaning ildizlari haqiqiy va har xil bo’lishi kerak. (8) dan
.
Endi -2+2i ning moduli va argumentini topamiz:

Bundan kompleks sonlarni trigonometrik ko’rinishga keltirish va ildiz chiqarish qoidalariga asosan quyidagilarga ega bo’lamiz:
Bu yerda k=0 deb olsak

(18)ga ko’ra . Demak, va . (10) dan

Bu qiymatlarni x=y+3 almashtirishga olib borib qo’yib

berilgan tenglamaning yechimlarini hosil qilamiz.