Kurs ishining maqsadi

5. integralni Eyler almashtirishlari yordamida hisoblash. Agar ildiz ostidagi kvadrat uch hadning haqiqiy ildizlari bo‘lmasa va a<0 bo‘lsa, u manfiy bo‘lib, funksiya mavjud bo‘lmaydi va integrallash masalasi o‘z ma’nosini yo‘qotadi. Shuning uchun quyidagi ikki hol mavjud.
1) a<0 va ax²+bx+c haqiqiy ildizlarga ega bo‘lsin. Bu holda
(3)
almashtirishni bajaramiz. Bunda ,  kvadrat uchhadning haqiqiy ildizlari (<). Demak,


Endi topilgan ifodalarni berilgan integralga qo‘yib, t ga nisbatan ratsional funksiyaning integraliga ega bo‘lamiz.
Agar = bo‘lsa, funksiya mavjud bo‘lmaydi, chunki a<0.
2) a>0 bo‘lsin. Bu holda
(yoki ) (4)
almashtirishni bajaramiz. Bundan


kelib chiqadi. Topilganlarni berilgan integralga qo‘yib, yana t ga nisbatan ratsional funksiyaning integraliga ega bo‘lamiz.

Yuqorida keltirilgan (3) va (4) almashtirishlar Eyler almashtirishlari deb ataladi.

1.3 Sodda irratsional funksiyalarni integrallash.

Har qanday ratsional funksiyaning boshlang‘ich funksiyalari elementar funksiya bo‘lishini va ularni hisoblash usullarini ko‘rib chiqdik. Lekin har qanday irratsional funksiyaning boshlang‘ich funksiyalari elementar funksiya bo‘lavermaydi. Biz hozir boshlang‘ich funksiyalari elementar bo‘ladigan ba’zi bir sodda irratsional funksiyalarni integrallash bilan shug‘ullanamiz. Ular asosan biror almashtirish yordamida ratsional funksiyaga keltiriladigan funksiyalardir.
1. -butun sonlar) ko‘rinishdagi integrallar.
Bu integral x=t^s, bu yerda s kasrlarning eng kichik umumiy maxraji, almashtirish natijasida ratsional funksiya integraliga keltiriladi.

4-misol. ni hisoblang.
Yechish: 1/2 va 1/3 kasrlarning eng kichik umumiy maxraji 6 ga teng bo‘lganligi sababli x=t⁶ almashtirish bajaramiz. U holda dx=6t⁵dt bo‘ladi.