Kurs ishining maqsadi

6-misol. Ushbu

integral hisoblansin.
◄ Ravshanki,
.
Demak,

bo’lib, -butun son bo’ladi.
Berilgan integralda

almashtirish bajarib,


bo’lishini topamiz. ►

2.2 Ratsional funksiyalarni integrallash

Ma’lumki, harakatdagi nuqtaning tezligini topish, shuningdek, egri chiziqqa urinma o’tkazish kabi masalalar funksiyani differensiallash tushunchasiga olib kelgan edi.
Nuqtaning har bir vaqt momentidagi tezligi ma’lum bo’lganda uning harakat qonunini topish, egri chiziqni uning har bir nuqtasidagi urinmalariga ko’ra aniqlash kabi masalalar ham ko’p uchraydi. Bunday masalalar yuqorida eslatib o’tilgan masalalarga teskari masalalar bo’lib, ular funksiyani integrallash tushunchasiga olib keladi.
Faraz qilaylik, funksiya intervalda (bu interval chekli yoki cheksiz bo’lishi mumkin) aniqlangan bo’lib, funksiya esa shu intervalda
differensiallanuvchi bo’lsin.
Ta’rif. Agar funksiya oraliqda hosilaga ega bo`lib, shu oraliqning ixtiyoriy nuqtasida uning hosilasi funksiyaga teng bo`lsa, ya`ni tenglik o`rinli bo`lsa, u holda funksiya funksiya uchun boshlang’ich funksiya deyiladi.
Eslatma. funksiyaning oraliqlardagi boshlang’ich funksiyasi yuqoridagi kabi ta`riflanadi.
Misol. funksiya funksiya uchun raliqda
boshlang’ich funksiyasi bo`ladi. Ya’ni tenglik bajariladi.
Ravshanki, agar funksiya uchun funksiya oraliqda
boshlang’ich funksiya bo`lsa, u holda funksiya ham funksiya
uchun oraliqda boshlang’ich funksiya bo`ladi, bu erda -ixtiyoriy o`zgarmas son.
Teorema. Agar va funksiyalar funksiyaning oraliqdagi ixtiyoriy boshlang’ich funksiyalari bo`lsa, u holda shu oraliqda bo`ladi, C -biror o`zgarmas son.
funksiyaning barcha boshlang’ich funksiyalari bir-biridan o’zgarmas songa farq qiladi va istalgan boshlang’ich funksiyasi ushbu ko’rinishda ifodalanadi:

Ta`rif. funksiya boshlang’ich funksiyalarining umumiy ifodasi shu funksiyaning aniqmas integrali deb ataladi va kabi belgilanadi.
Agar funksiya funksiyaning oraliqdagi biror boshlang’ich funksiyasi bo`lsa, u holda