Курсовая работа по направлению 050100 Педагогическое образование

Объект исследования: функции многих переменных
Предмет исследования: правила и способы нахождения производных и дифференциалов .


^{Цель работы:}

• 
  ^{Рассмотреть понятие функции многих переменных;}
  
• 
  ^{Познакомиться с основными понятиями данной темы;}
  
• 
  ^{Выяснить основные принципы вычисления производных и дифференциалов;}
  
• 
  ^{Рассмотреть примеры нахождения производных и дифференциалов}
  

^{В моей курсовой работе две главы.
В первой главе я рассматриваю основные понятие функции многих переменных и ее предел. Во главе знакомлюсь с нахождением производной и дифференциалов разных видов функций многих переменных.
В конце работы представлен список используемой литературы}

Глава 1
Функции многих переменных
1.1 Основные понятия
Пусть имеется n+1 переменная x₁, x₂, ..., x_n, y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x₁, x₂, ..., x_n соответствует единственное значение переменной y. Тогда говорят, что задана функция f от n переменных. Число y, поставленное в соответствие набору x₁, x₂,..., x_n называется значением функции f в точке (x₁, x₂, ..., x_n), что записывается в виде формулы y = f(x₁,x₂,..., x_n) или y =y(x₁,x₂,..., x_n).
Переменные x₁, x₂, ..., x_n являются аргументами этой функции, а переменная
y - функцией от n переменных.
В данной работе рассмотрим функции двух переменных, так как все основные понятия и теоремы, сформулированные для функций двух переменных, легко обобщаются на случай большего числа переменных. Для функций большего числа переменных все факты, о которых будет идти речь, или аналогичны или сохраняются без всякого изменения.
Аргументы функции двух
переменных будем обозначать как правило x и y, а значение функции – z.
Будем говорить, что задана функция двух переменных, если любой паре чисел (x,y) из некоторого множества D упорядоченных пар чисел поставлено в соответствие единственное число, которое обозначается f(x,y) и называется значением функции f в точке (x,y).
Совокупность всех точек , в которых определена функция , называется областью определения этой функции .
Для функции двух переменных область определения представляет собой всю координатную плоскость или ее часть, ограниченную одной или несколькими линиями. График функции двух переменных есть множество точек (x,y,f(x,y)), где (x,y)cD. График представляет собой некоторую поверхность. Пример такой поверхности приводится на рисунке 1.
Например, область определения функции – вся плоскость, а функции – единичный круг с центром в начале координат ( или .
В частности ,область определения может быть не вся плоскость ,а ее часть ,ограниченная некоторыми линиями. Линию, ограничивающую область ,называют границей области. Точки области не лежащие на границе, называются внутренними. Область с присоединенной к ней границей называется замкнутой, . Примером замкнутой области является круг с окружностями.
Формально график можно определить и для функции, содержащей более двух переменных. В этом случае он называется гиперповерхностью в (n+1)-мерном пространстве. О таком графике можно говорить только абстрактно, изобразить его на рисунке не представляется возможным.
Как правило, построение поверхности оказывается довольно трудной задачей, да и сама поверхность обладает гораздо меньшей наглядностью, чем линия на плоскости. Поэтому в случае двух переменных для изучения поведения функции используют и другие, более наглядные инструменты. Одним из таковых являются линии уровня. Понятие линии используется при описании различных физических полей (температура, давление и пр.)