Кванты Скотт Паттерсон Brainiac Кен Дженнингс Moneyball
О Т Е Л Ь Г И Л Ь Б Е Р Т А
Download 3.43 Kb. Pdf ko'rish
|
Удовольствие от x. Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мире
|
О Т Е Л Ь Г И Л Ь Б Е Р Т А
253 Позже Кантор также доказал, что взаимно однозначного соответствия между этими парами быть не может. Поскольку множество действитель- ных чисел, лежащих между 0 и 1, неисчислимо и не может быть поставле- но в однозначное соответствие с натуральными числами. Для гостинич- ного бизнеса это означает, что, если все вещественные числа появятся у стойки администратора и начнут звонить в колокольчик, для них не хватит свободных номеров даже в отеле Гильберта. Докажем это утверждение от противного. Допустим, каждому дей- ствительному числу можно дать собственную комнату. Тогда реестр жильцов, которые определены десятичными дробями, и список номеров комнат будут выглядеть примерно так: Номер 1: 0,6708112345... Номер 2: 0,1918676053... Номер 3: 0,4372854675... Номер 4: 0,2845635480... Помните, список должен быть полным. Каждое действительное чис- ло между 0 и 1 должно появиться в каком-то конечном месте реестра. Кантор показал, что в подобном перечне отсутствует много чисел. Вот это и есть противоречие. Например, чтобы построить число, кото- рое нигде не появляется в представленном выше списке, спуститесь по диагонали и составьте новое число из подчеркнутых цифр: Номер 1: 0,6708112345... Номер 2: 0,1918676053... Номер 3: 0,4372854675... Номер 4: 0,2845635480... Получилась десятичная дробь 0,6975... Г Р А Н И Ц Ы В О З М О Ж Н О Г О 254 Но мы еще не закончили. Следующий шаг — возьмите эту десятичную дробь и измените все ее цифры, заменяя каждую любой другой от 1 до 8 152 . Например, мы могли бы изменить 6 на 3, 9 на 2, 7 на 5 и т. д. Эта новая десятичная дробь 0,325... является убийцей. Конечно, это не первый номер, так как она имеет другую первую цифру, чем число, находящееся в этом номере. И не второй номер, поскольку у него другая вторая цифра. В общем, она отличается от n-ого числа с n–м десятичным разрядом. Поэтому нигде не фигурирует в списке! Вывод таков: отель Гильберта не может разместить все действитель- ные числа. Их просто слишком много для этого — бесконечность, вы- ходящая за пределы бесконечности 153 . И с этой унизительной мыслью мы подходим к концу книги, которая началась со сцены в другом воображаемом отеле. Помните? Персонаж «Улицы Сезам» по имени Хамфри, работающий в обеденное время в отеле «Мохнатые лапы», принял заказ у голодных пингвинов: «Рыб- ка, рыбка, рыбка, рыбка, рыбка, рыбка», и вскоре узнал о силе чисел. Это было долгое путешествие от рыбок к бесконечности. Спасибо, что оставались со мной. Многие друзья и коллеги помогали мне улучшить эту книгу, щедро предлагая мудрые советы по математике, стилистике, истории и другим вопросам. Благодарю Дага Арнольда, Шелдона Акслера, Лэрри Браде- на, Дэна Каллахана, Боба Коннелли, Тома Гиловича, Джорджа Харта, Ви Харт, Диану Хопкинс, Герберта Хуи, Синди Клаусс, Майкла Льюиса, Михаэля Мобуссина, Барри Мазура, Эри Ногучи, Чарли Пескина, Стива Пинкера, Рави Рамакришну, Дэвида Ранда, Ричарда Ранда, Питера Рен- ца, Дугласа Роджерса, Джона Смайли, Гранта Виджинса, Стивена Янга и Карла Циммера. Хочу выразить признательность коллегам, создавшим иллюстрации для книги и позволившим мне включить их визуальные работы: Рику Алльмендингеру, Полу Бурку, Майку Филду, Брайану Мэдсену, Нику Дейману (Team-fresh), Марку Ньюману, Конраду Полтье, Кристиану Раддеру из OkCupid, Саймону Татэм и Джейн Вонг. Я безмерно благодарен Дэвиду Шипли за предложение разместить в New York Times серию статей о математике, что стало толчком к напи- санию этой книги, и особенно за его видение того, как они должны быть структурированы. «Простота, простота, простота», — призывал Торо, и они с Шипли оба были правы. Джордж Калоджеракис, мой редактор в Times, брал свое «перо» в руки, чтобы передвинуть запятые, но только тогда, когда в этом была необходимость, в то же время он защищал меня от более серьезных оплошностей. Его уверенность чрезвычайно обнаде- живала. Кэти О`Брайан из производственного отдела, убедившись, что математика всегда права, мирилась с неизбежной типографской суетой с присущими ей изяществом и прекрасным чувством юмора. Я знаю, мне очень повезло, что Катинка Мэтсон стала моим литера- турным агентом. Она с самого начала защищала эту книгу с вдохновляю- щим энтузиазмом. От автора |
