Кванты Скотт Паттерсон Brainiac Кен Дженнингс Moneyball

А Н А Л И З И Р У Й Э Т О !
245
(показано пунктирной линией). Заметим, однако, что вблизи краев зуб-
цов что-то не так. Синусоида «промахнулась» и приняла вид странного 
пальца, который выходит за пилообразную волну. Чтобы увидеть это от-
четливее, посмотрим на увеличение одного из зубцов при x = π:
Частичная сумма 10 членов
x
y
2
0,5
1
1,5


Попытаемся избавиться от пальца, включив в частичную сумму боль-
ше слагаемых. Не повезло. Палец просто становится тоньше и переме-
щается ближе к краю, но его высота остается примерно такой же.
Частичная сумма 50 членов
x
y
0,5
1
1,5
2



---

Г Р А Н И Ц Ы В О З М О Ж Н О Г О
246
Частичная сумма 100 членов
x
y
0,5
1
1,5
2


Вину за происходящее можно возложить на знакочередующийся гар-
монический ряд. Его описанная выше патология сейчас загрязняет ряды, 
связанные с рядами Фурье. Они отвечают за этот раздражающий палец, 
который никуда не денется.
Данный эффект, обычно называемый феноменом Гиббса 
145
, больше, 
чем просто математический курьез. Он известен с середины XIX века 
и в настоящее время проявляется в цифровой фотографии и на МРТ-
сканировании
146
. Нежелательные колебания, вызванные феноменом 
Гиббса, могут привести к размытости, мерцанию и прочим непредна-
меренным нежелательным визуальным искажениям на острых краях 
видео изображения. В медицинской практике их можно ошибочно при-
нять за поврежденную ткань или скрыть повреждения, которые есть на 
самом деле.
К счастью, сто лет назад аналитики точно определили, что вызывает 
артефакты Гиббса (см. примечание 147), и научили нас, как преодолеть 
эти явления, или, по крайней мере, распознать их в случае появления.

---

В феврале 2010 года я получил электронное письмо от женщины по 
имени Ким Форбс. Ее шестилетний сын Бен задал ей математический 
вопрос, на который она не смогла ответить, и она надеялась, что я смогу 
помочь.
Сегодня 100-й день его пребывания в школе. Сын был очень взвол-
нован и рассказал мне все, что знает о числе 100, включая то, что 
оно четное. Затем он сказал, что 101 нечетное число, а 1 000 000 — 
четное и т. д. А потом остановился и спросил: «Бесконечность — 
четная или нечетная?»
Я объяснил Ким, что бесконечность не может быть ни четной, ни не-
четной. Это не число в обычном смысле, и оно не подчиняется правилам 
арифметики. Например, я писал: «Если бы бесконечность была нечет-
ным числом, при умножении на себя она стала бы четным числом. И обе 
были бы бесконечностями! Так что в целом понятие четности и нечет-
ности не имеет смысла для бесконечности».
Ким ответила:
Спасибо. Бен удовлетворен таким объяснением. Ему понравилась 
идея, что бесконечность достаточно велика, чтобы быть одновре-
менно как четной, так и нечетной.