Кванты Скотт Паттерсон Brainiac Кен Дженнингс Moneyball

А Н А Л И З И Р У Й Э Т О !
243
последовательности, вы можете изменить ответ, чего никогда не произо-
шло бы с конечной суммой. Поэтому, даже если исходный ряд сходится, 
в нем по-прежнему будут странности, которые невозможно представить 
в обычной арифметике.
Вместо того чтобы доказать этот удивительный факт (результат, 
известный как теорема Римана о перестановке слагаемых в условно-
сходящихся рядах)
142
, рассмотрим очень простую перестановку, сумму 
которой легко посчитать. Сгруппируем члены этого ряда таким обра-
зом, чтобы к каждому положительному слагаемому прибавлялось два от-
рицательных.
[1 – 1
2
– 1
4
] + [ 1
3
– 1
6
– 1
8
] + [ 1
5
– 1
10
– 
1
12
] + ...
Далее упростим каждое выражение в скобках, вычитая второй член 
из первого и оставляя без изменения третий член. Тогда ряд сводится 
к сумме:
[ 1
2
– 1
4
] + [ 1
6
– 1
8
] + [ 1
10
– 1
12
] + ...
После вынесения за скобки из всех дробей выражения 1
2
как общего 
множителя ряд примет вид: 
1
2
[1 – 1
2
+ 1
3
– 1
4
+ 1
5
– 1
6
+ ...]
Смотрите, кто вернулся! Бестия в скобках — это снова знакочере-
дующийся гармонический ряд. Но в результате перестановки, даже при 
сохранении всех его членов, как-то получилось, что он вдвое уменьшил-
ся по сравнению с первоначальным! Представленный в таком виде ряд 
теперь сходится к 1
2
ln2 = 0,346... .
Странно? Да. Ненормально? Да
143
. Но неудивительно ли, что то же 
самое происходит и в реальной жизни. Как мы уже убедились в ходе про-
чтения книги, даже самые заумные и надуманные понятия математики 

---

Г Р А Н И Ц Ы В О З М О Ж Н О Г О
244
часто находят практическое применение. Связь с практикой в данном 
случае заключается в том, что во многих областях науки и техники (от 
обработки сигналов и акустики до финансов и медицины) лучше всего 
представлять различные виды кривых, звуков, сигналов или изображе-
ний как группы (или совокупности) более простых кривых, звуков, сиг-
налов или изображений. При этом основными строительными блоками 
будут синусоиды. Этот метод называется анализом Фурье 
144
, а соответ-
ствующая сумма — рядом Фурье . Но когда рассматриваемый ряд имеет 
некоторые патологические свойства, как у знакочередующегося гармо-
нического ряда и его невменяемых родственников, сходимость у ряда 
Фурье может быть действительно очень необычной.
Вот, например, один из рядов Фурье, непосредственно вдохновлен-
ный знакочередующимся гармоническим рядом:
f(x) = sin x – 1
2
sin 2x + 1
3
sin 3x – 1
4
sin 4x + …
Чтобы получить представление о том, как он выглядит на графике, да-
вайте рассмотрим сумму его первых десяти членов.
5
10
–1
1
Частичная сумма 10 членов
y
Эта частичная сумма (показана сплошной линией) явно пытается 
приблизиться к более простой волновой кривой в форме зубцов пилы 

---