Кванты Скотт Паттерсон Brainiac Кен Дженнингс Moneyball

Анализируй это!
29
*

---

Г Р А Н И Ц Ы В О З М О Ж Н О Г О
238
Таким же образом исчисление уложило себя на кушетку психиатра 
именно тогда, когда казалось, что оно при смерти. После многолетне-
го триумфа, уничтожив все проблемы, стоявшие на пути, оно начало 
осознавать что-то нездоровое, настораживающее в самой своей основе. 
Именно то, что сделало его успешным, — его жестокие навыки и бес-
страшие в манипулировании бесконечными процессами — в настоя-
щее время угрожало его уничтожить. И терапией, которая в конечном 
итоге помогла преодолеть этот кризис, стал, по случайному совпаде-
нию, анализ
140
.
Вот пример одной из задач, которые волновали математиков 
XVIII века. Рассмотрим бесконечную сумму
1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + ...
Это числовой эквивалент незатухающих колебаний
141
: шаг вперед, 
шаг назад, шаг вперед, шаг назад и так далее до бесконечности.
Значит ли это, что данная последовательность чисел имеет какой-
нибудь смысл? И если да, то чему она равна в результате?

---

А Н А Л И З И Р У Й Э Т О !
239
Оптимист, дезориентированный бесконечно длинным выражением, 
подобным этому, может надеяться, что некоторые из старых правил, 
выкованных опытом взаимодействия с конечными суммами, останутся 
в силе. Например, мы знаем, что 1 + 2 = 2 + 1. Когда мы складываем два 
числа и более в виде конечной суммы, мы всегда можем поменять их 
порядок без изменения результата: a + b равно b + a (коммутативный 
закон сложения). И когда в выражении больше чем два члена, мы мо-
жем, поставив скобки, самозабвенно группировать его члены, не влияя 
на окончательный результат. Например: (1 + 2) + 4 = 1 + (2 + 4): сло-
жение 1 и 2, а затем 4, дает тот же ответ, что и сложение 2 и 4, а затем 1. 
Это называется ассоциативным (сочетательным) законом сложения. Он 
работает, даже если суммируются несколько чисел. Мы знаем, что вы-
читание числа — то же самое, что прибавление отрицательного числа. 
Например, рассмотрим сумму, состоящую из первых трех членов запи-
санного выше числового ряда, и зададим вопрос: что такое 1 – 1 + 1? 
Мы могли бы представить это как: (1 – 1) + 1 или 1 + (–1 + 1), где во 
втором выражении в скобках вместо вычитания 1 прибавляем –1. В лю-
бом случае ответ будет: 1.
Но когда мы попытаемся обобщить эти правила для бесконечных 
сумм, то столкнемся с несколькими неприятными сюрпризами. Посмо-
трите на возникающее противоречие: если мы возьмем ассоциативный 
закон и доверчиво применим его к 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + ... С одной сто-
роны, мы можем сократить положительные и отрицательные единицы, 
группируя их следующим образом:
1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + ... = (1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1) + ... = 0 + 0 + 0 + ... = 0.
С другой — можно точно так же, как здесь показано, поставить скоб-
ки и сделать вывод, что результат равен 1.
1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + ... = 1 + (–1 + 1) + (–1 + 1) + ... = 1 + 0 + 0 + ... = 1.

---

Г Р А Н И Ц Ы В О З М О Ж Н О Г О
240
Ни один из этих способов не кажется более убедительным, поэтому ка-
кова вероятность, что сумма равна и 0, и 1? Сегодня для нас это предпо-
ложение звучит абсурдно, но в то время некоторые математики утеши-
лись его религиозным подтекстом. Он напоминал им о богословском 
утверждении, что Бог создал мир из ничего. Как написал в 1703 году 
математик и священник Гвидо Гранди : «Поставив по-разному скобки 
в выражении 1 – 1 + 1 – 1 + ... я могу, если хочу, получить 0 или 1. 
Но тогда идея творения из ничего (лат. ex nihilo) совершенно правдо-
подобна».
Тем не менее очевидно, что Гранди предпочитал третье значение сум-
мы, отличное от 0 или 1. Догадаетесь ли вы, какое именно? Подумайте, 
что можно сказать, если вы с ученым видом валяете дурака.
Правильно. Гранди считал, что истинная сумма равна 1
2
. И великие 
математики, в том числе Лейбниц и Эйлер, были с ним согласны. Не-
сколько линий рассуждения подтверждали этот компромисс. Например, 
1 – 1 + 1 – 1 + ... можно выразить с помощью собственных членов следу-
ющим образом. Давайте использовать букву S для обозначения суммы. 
Тогда по определению
S = 1 – 1 + 1 – 1 + ...
Теперь оставим первую 1 в правой части уравнения в покое и займем-
ся остальными его членами. Они создают собственную копию S, и чле-
ны, стоящие справа от первой 1, вычитаются из нее:
S = 1 – 1 + 1 – 1 + ... = 1 – (1 – 1 + 1 – ...) = 1 – S.
Так что S = 1 – S и, следовательно, S = 1
2
.
Дебаты по поводу суммы 1 – 1 + 1 – 1 + ... бушевали почти 150 
лет, пока новое поколение аналитиков не водрузило все виды исчисле-
ния и его бесконечные процессы (пределы, производные, интегралы, 

---