Кванты Скотт Паттерсон Brainiac Кен Дженнингс Moneyball

П Р И М Е Ч А Н И Я
13. Кое-что из ничего
47. Все 13 книг Elements
*
в одном удобном томе с большим количеством иллю-
страций: Euclid’s Elements, edited by D. Densmore, (Green Lion Press, 2002). 
Еще один отличный перевод в формате PDF: http://farside.ph.utexas.edu/
euclid.html.
48. Дополнительные сведения о Томасе Джефферсоне 
, о его преклонении 
перед Евклидом и Ньютоном и использовании им аксиоматического под-
хода при написании Декларации независимости, можно найти в книге I. 
B. Cohen, Science and the Founding Fathers, (W. W. Norton and Company), 
1995 и J. Fauvel, Jeff erson and mathematics на http://www.math.virginia.edu/
Jeff erson/jeff erson.htm.
49. В этой главе я умолчал о ряде тонкостей в двух представленных доказатель-
ствах. Например, в доказательстве о равностороннем треугольнике неяв-
но предполагается (как сделал Евклид), что две окружности пересекаются 
в какой-то определенной точке, которую мы обозначили С. Но нет никаких 
аксиом Евклида, подтверждающих это свойство, — нужна дополнительная 
аксиома о непрерывности окружностей. Бертран Рассел , в частности, от-
метил этот пробел в статье B. Russell, Th
e Teaching of Euclid, Mathematical 
Gazette, Vol. 2, No. 33 (1902), рр. 165–167, доступна по адресу http://www-
history.mcs.st-and.ac.uk/history/Extras/Russell_Euclid.html.
Другая тонкость в доказательстве того, что сумма углов треугольника 
равна 180 градусам, заключается в безоговорочном использовании посту-
лата о пересечении параллельных прямых третьей. Этот постулат позволил 
нам построить линию, параллельную основанию треугольника. Но в другой 
геометрии (неевклидовой) может не быть ни одной линии, параллельной 
заданной, или существовать бесконечно много таких линий. В геометриях, 
столь же логически последовательных, как и Евклидова, углы треугольника 
не всегда равны 180 градусам. Таким образом, приведенное здесь доказа-
тельство Пифагора больше чем просто элегантное, оно говорит о глубинной 
природе самого пространства. Для получения дополнительных коммента-
риев по этим вопросам см. блог A. Bogomolny, Anglesin triangle add to 180°: 
http://www.cut-the-knot.org/triangle/pythpar/AnglesInTriangle.shtml и ста-
тью T. Beardon, When the angles of a triangle don’t add up to 180 degrees по 
адресу http://nrich.maths.org/1434.
* В английской традиции книги Евклида называются Elements («Элементы»), 
в отличие от русской традиции, где книги Евклида имеют название «Начала». 
Русское полное издание «Начал» Евклида: Начала Евклида. Пер. и комм. Д. Д. 
Мордухай-Болтовского при ред. участии И. Н. Веселовского и М. Я. Выгодского. 
В 3 т. (Серия «Классики естествознания»). М. : ГТТИ, 1948–50.

---