Кванты Скотт Паттерсон Brainiac Кен Дженнингс Moneyball

С А М Ы Е О Д И Н О К И Е Ч И С Л А
211
В противоположность первому впечатлению эта кривая не является 
прямой линией. По мере роста она слегка изгибается книзу. Такой изгиб 
означает, что простые числа становятся более редкими, изолированны-
ми и одинокими. Это то, что Джордано имел в виду, говоря про «одино-
чество простых чисел».
Такая разреженность кажется еще очевиднее, если посмотреть на дан-
ные «переписи» под другим углом. Помните, мы насчитали десять про-
стых чисел среди первых тридцати целых чисел? Таким образом, там, где 
числовая прямая берет свое начало, примерно одно из трех чисел явля-
ется целым, что составляет стабильные 33%. Однако среди первой сотни 
чисел простых только двадцать пять. Их ряды сократились до одного из 
четырех, составляя уже 25%, что вызывает беспокойство. А среди перво-
го миллиарда чисел простых всего лишь 5%.
И это суровый вестник наклоняющейся кривой. Простые числа похо-
жи на вымирающее поколение. Они никогда не исчезают полностью — 
со времен Евклида известно, что они никогда не заканчиваются, но поч-
ти целиком растворяются в обычных целых числах.
Найдя функции, которые приблизительно соответствуют этой на-
клоняющейся кривой, теоретики чисел измерили, насколько одиноки 
простые числа, и выразили в виде формулы типичное расстояние между 
ними. Если N — большое число, то средний интервал между простыми 
числами, ближайшими к N, приблизительно равен lnN, то есть натураль-
ному логарифму от N. (Натуральный логарифм ведет себя так же, как 
и обычный десятичный логарифм, изучаемый в средней школе, но в его 
основе лежит число e, а не 10. Он является натуральным в том смысле, что 
повсюду встречается в высшей математике, входя в окружение числа e. 
Подробнее о повсеместном использовании числа e читайте в главе 19.)
Хотя формула lnN для вычисления среднего промежутка между про-
стыми числами не слишком хорошо работает для малых N, ее эффектив-
ность улучшается при приближении N к бесконечности, где ошибка фор-
мулы в процентном соотношении приближается к нулю. Чтобы получить 
представление об этих числах, допустим, что N = 1000. Выясняется, что 
существует 168 простых чисел меньше 1000 и что средний промежуток 

---

Г Р А Н И Ц Ы В О З М О Ж Н О Г О
212
между ними в этой части числовой прямой составляет 1000/68, или при-
мерно 5,9. Для сравнения, согласно формуле средний интервал должен 
равняться ln(1000) ≈ 6,9, что превышает реальное значение примерно 
на 17%. Но если мы пойдем дальше, скажем, для N = 1 000 000 000, то 
реальный и вычисленный по формуле интервалы составят 19,7 и 20,7 со-
ответственно, и разность между ними будет примерно 5%.
Формула lnN, где N стремится к бесконечности, сегодня известна как 
теорема простых чисел
115
. Она впервые была записана (но не опублико-
вана) Карлом Гауссом
116
в 1792 году, когда ему было всего пятнадцать лет. 
(Видите, на что способен ребенок, лишенный развлечений в виде игро-
вой приставки?)
Что же касается других молодых людей, о которых шла речь в этой 
главе, Маттиа и Аличе, то, я надеюсь, вы оценили, насколько это захва-
тывающе, что два простых числа-близнеца
117
продолжают существовать 
в самых далеких пространствах числовой прямой, «в этом молчаливом 
измеренном пространстве, состоящем только их цифр». Против них 
ополчилась целая армия нечетных чисел. Согласно теореме простых 
чисел, любое отдельно взятое простое число, находящееся вблизи N, не 
имеет права ожидать, что его потенциальный друг приблизится к нему 
ближе чем на lnN и пропасть между ними намного превышает 2, если 
N — большое число.
Но все-таки некоторые пары побеждают нечетные числа. Компьюте-
ры нашли простые числа-близнецы в невероятно отдаленных областях 
числовой прямой. Где-то вдали уютно устроилась самая большая извест-
ная пара двух чисел, каждое из которых состоит из 100 355 десятичных 
цифр.
Согласно гипотезе о простых числах, подобные пары будут появлять-
ся всегда.
Так не попробовать ли нам поискать поблизости от этих чисел еще 
какую-нибудь парочку простых чисел
118
, чтобы сообразить с ними на 
четверых? Удачных поисков!

---

Мы с женой спим совершенно по-разному, и это видно по нашему ма-
трасу. Она подминает под себя подушки, всю ночь ворочается, и матрас 
под ней практически не вдавлен. А я сплю на спине, в позе мумии, отчего 
на моей стороне кровати образуется впадина.
Производители кроватей рекомендуют периодически переворачи-
вать матрас, вероятно, имея в виду таких людей, как я. Но как это лучше 
сделать? Как именно его надо переворачивать, чтобы он изнашивался 
максимально равномерно?
Брайан Хэйес изучает эту проблему на небольшом опыте, который 
описывает в книге Group Th
eory in the Bedroom («Теория групп в спаль-
не»). Отбросим двусмысленности, поскольку «группа», о которой пой-
дет речь, представляет собой совокупность математических действий, то 
есть всех возможных способов переворачивания или разворачивания 
матраса, чтобы он при этом точно совпадал с каркасом кровати.