Ламе тенгламасини сонли ечишнинг чекли-айирмалар усули

Ламе тенгламасини сонли ечишнинг чекли-айирмалар усули.

Маълумки, деформацияланувчи қаттиқ жисм механикасининг статик масаласи анизотроп жисмлар учун қуйидаги тенгламалардан ташкил топган:

бу ерда, (1)-мувозанат тенгламаси, (2) анизотроп жисмлар учун умумлашган Гук конуни, (3) Коши муносабати, (4) ифода мос равишда, кўчишлар ва кучланишларга нисбатан чегаравий шартлар.
(1-4) маслала изотроп жисмлар учун учун эса қуйидаги кўринишга эга бўлади:
(1)¹
(2)¹
(3)¹
(4)¹
(1-4)¹ чегаравий масалани кўчишларга нисбатан ёзиб олиш мумкин. Бунинг учун (3)¹ ифодани (2)¹ га қўйиб
(5)
(5)¹
Бу ифодадан x_j ,бўйича ҳосила оламиз, яъни
(6)
(6)¹
(6) - ифодани (1)¹- га қўйиб, (1-4)¹ чегаравий масаланинг кўчишларга нисбатан ёзилган кўринишини ҳосил қиламиз. Одатда бу тенглама Ламе тенгламаси деб аталади.
(7)
(5) ифодадан фойдаланиб (4)¹-чегаравий шартларни хам кўчишларга нисбатан ёзиб олиш мумкин
(8)


Топшириқ 1. Анизотроп жисмлар учун (1-4) –чегаравий масалани кўчишларга нисбатан қуйдаги кўринишда ёзиш мумкинлиги кўрсатилсин.


(9)
(10)
(9-10) тенгламалар ортотроп жисмлар учун эластиклик назариясининг чегаравий масаласини ташкил этади ва тенгламани компоненталарга нисбатан қуйидаги кўринишда ёзиб олиш мумкин
(11)

(11) тенгламани ва (10) чегаравий шартларни, бир ўлчовли холда, l узунликдаги стерженнинг деформацияланишини ифодалайдиган, [0,l] кесмада қараладиган 2-тартибли хусусий хосилали дифференциал тенгламага келтириш мумкин, яни

(12)
(13)


(14-15)

Хусусий холларда, (11) ва (7) тенламалардан қуйидаги тенгламаларни ҳосил қилиш мумкин:

1. (16)

2. (17)
3. (18)
4. (19)

(11) тенглама изотроп жисмлар учун куйидаги кўринишни олади. Бу тенгламаларни одатда Ламе тенгламаси дейилади

(20)
(20) тенгламаларни тўғри тўртбурчак соҳа учун қуйидаги кўринишга келтириш мумкин
(21)
cоҳанинг чегарасида кўчишларга нисбатан берилган мос чегаравий шартлар
(22)
Эластиклик назариясининг (21-22) масаласи учун чекли-айирмали схема қурамиз.
Тўғри тўртбурчакнинг тамонларини га бўлиб,
(23)
ни аниқлаймиз, бу ерда . Бу ҳолда тугун нуқталар қуйидагича бўлади
. (24)
(21) тенгламалардаги ҳосилаларни мос айирмали муносабатлар билан алмаштириб, қуйидаги чекли-айирмали тенгмаларга эга бўламиз
(25)
(25) тенгламаларни ва кўчишларга нисбатан ечамиз, яъни
(26)
(26)- муносабатлар асосида индекс бўйича қуйидаги итерацион жараённи ташкил қиламиз
(27)
(22)- чегаравий шартлар тугун нуқталарга нисбатан қуйидагича ёзиб олиш мумкин
(28)
Нолинчи яқинлашишда, яъни бўлганда қидирилаётган ва катталикларнинг соҳанинг чегарасидаги тугун нуқталардаги қийматлари (28) чегаравий шартларга асосан аниқланади. Ички тугун нуқталарда эса, нолинчи яқинлашишда кўчишларнинг қийматлари нолга тенг деб ҳисобланади. Итерацион жараённи давом эттириб, қидирилаётган ва кўчишларнинг қийматларини аниқликда топиш мумкин.
Қуйидаги функциялар
, (29)
(22)-чегаравий шартларни ва ҳажмий кучлар қуйидагича бўлганда (21) мувозанат тенгламаларини қаноатлантиради
(30)
Модель масала параметрларнинг қуйидаги қийматларида ечилган , , .