Лекция №1 кинематика материальной точки план лекции Кинематика материальной точки

Полная работа, произведенная над телом, равна изменению его кинетической энергии. ¹¹
3.8.ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ
Можно говорить, что энергия тела обусловлена не только его движением, но и положением в пространстве и его формой; такую энергию называют потенциальной энергией (ПЭ).
Потенциальной энергией обладает, например, заведенная пружина часов. При своем раскручивании она совершает работу и передвигает стрелки часов. Сама пружина приобрела потенциальную энергию благодаря тому, что над ней совершил работу человек, заводивший часы¹²
Гравитационная потеницальная энергия
Возможно, самым привычным примером потенциальной энергии является гравитационная потенциальная энергия. Массивное тело, поднятое высоко в воздух, имеет потенциальную энергию благодаря своему положению. Оно обладает способностью совершать работу, поскольку, если его освободить, оно упадет на землю и может совершить работу (например, загнать в землю торчащий стержень)¹³ Определим теперь количественно гравитационную потенциальную энергию тела вблизи поверхности Земли. Поднять тело массой вертикально вверх можно, только приложив к нему силу, по крайней мере, равную силе тяжести (например, со стороны ладони человека). Для того чтобы поднять это тело без ускорения на высоту h над поверхностью Земли (рис. 6.12, а), человек должен совершить работу, равную произведению силы на расстояние по вертикали А; иными словами, W= mgh.
 = =mg= mg ( -  )

Рис. 3-4. Потенциальная энергия вертикально движущегося тела


Решение проблемы, используя сохранения механической энергии

Рис. При падении камня его потенциальная энергия переходит в кинетическую.
Рассмотрим камень, падающий под действием силы тяжести (рис. 7.2). В исходном положении он обладает только потенциальной энергией. При падении камня потенциальная энергия уменьшается, но увеличивается кинетическая энергия камня, которая компенсирует это уменьшение таким образом, что сумма этих двух энергий остается постоянной. В любой точке вдоль пути полная механическая энергия равна , где - высота над поверхностью Земли, a - скорость камня на этой высоте. Если индексом 1 отметить все физические величины в какой-либо точке вдоль траектории камня, скажем в его начальном положении, а индексом 2 - величины в другой точке вдоль траектории, то в соответствии с формулой (7.5) мы получим
[только сила тяжести]. (7.6)
Для того чтобы показать практическую значимость этого равенства, предположим, что в начальный момент времени камень находился на высоте м (рис. 7.2), и вычислим его скорость в тот момент времени, когда при своем падении он достигнет высоты 1,0 м над поверхностью Земли. При этом, поскольку в момент времени, когда камень выпускают из рук, м и м/с², из (7.6) находим 0 + (т)(9,8 м/с2) (3,0 м) = (1/2) ту2 + (т)(9,8 м/с2) (1,0 м).
Отсюда, сокращая массу , находим v\ = 2 [(9,8 м/с2) х х (3,0 м) - (9,8 м/с2) (1,0 м)] = 39,2 м2/с2 и v2 = ^/39Л = = 6,3 м/с.
Равенство (7.6) можно применять для любого тела, движущегося под действием силы тяжести без трения, поскольку, как мы показали, потенциальная энергия зависит только от положения тела (в данном случае от высоты у, на которой находится тело) и не зависит от того, по какому пути движется тело. Например, автомобиль на рис. 7.3, находившийся в состоянии покоя на вершине холма, съезжает с выключенным двигателем без трения к подножию холма, а затем взбирается по инерции на соседний холм. В исходном положении автомобиля мы имеем лишь потенциальную энергию. По мере того как автомобиль спускается с холма, потенциальная энергия уменьшается, но увеличивается кинетическая энергия автомобиля, так что сумма энергий сохраняется постоянной. У подножия холма автомобиль имеет максимальную кинетическую энергию и вкатывается по инерции на другой холм; при этом кинетическая энергия переходит обратно в потенциальную. Когда автомобиль снова остановится, вся энергия станет только потенциальной. Поскольку потенциальная энергия пропорциональна высоте, на которой находится автомобиль, а энергия автомобиля сохраняется, автомобиль остановится на высоте, равной первоначальной. В случае когда высота обоих холмов одинакова, автомобиль остановится, едва достигнув вершины второго холма. Если же высота второго холма меньше, то не вся кинетическая энергия автомобиля преобразуется в потенциальную и автомобиль пересечет вершину и скатится с противоположного склона второго холма. Если второй холм выше первого, то автомобиль сможет достичь лишь высоты, равной высоте первого холма. При этом ни профиль склона холма, ни его крутизна не играют роли, так как потенциальная энергия зависит только от высоты.
Максимальная энергия в каждой точке определяется следующей формулой:
E=KE+PE= m +mgy
где v – скорость в данной точке. Если индекс 1 фиксирует камень в определенной точке пути (например в начальной точке), а индекс 2 – в другой точке, то можем написать Рис.6.12
 m m +
До того, как камень упадет на землю, в точке y=o вся потенциальная энергия преобразуется в кинетическую¹⁴
Мы рассмотрели сохранение энергии в механической системе, состоящей из конвервативных сил и его вывод из законов Ньютона. Но в общем виде, закон сохранения энергии зависит от таких не консервативных сил, как сила трения. Несмотря на это, закон Ньютона требует рассмотрения субмикроскопического мира атомов, что позволяет применить закон сохранения в экспериментальные случаи.
5. Взаимодействие тел характеризуется с одной стороны, силой, с другой – потенциальной энергией их взаимодействия. Как нам известно, работа консервативных сил в гравитационном поле совершается за счет изменения их потенциальной энергии: . (3.14)
Работа консервативных сил по перемещению тела на расстояние :
. (3.15)
Если проекцию силы на направление перемещения отметить через F_S:
. (3.16)
Тогда (3.15) можем переписать в следующем виде:


. (3.17)
откуда
, (3.18)
или . (3.19)
(знак означает частную производную по направлению ). Так как E_p - есть функция состояния, то (3.19) будет уместным для произвольного направления:


(3.20)

Если согласно (3.20) можем записать:

Выражение в скобках обозначим через gradE_n и читаетсч как градиент потенциальной энергии. Тогда
. (3.21)
Откуда E_n – скаляр, однако его градиент есть векторная величина. Знак ( - ) означает, что F направлена в сторону уменьшения потенциальной энергии.
(3.21) выражает связь между и E_n и читается следующим образом: сила, действующая в потенциальном поле на тело равна градиенту потенциальной энергии, взятому с обратным знаком. Это означает, чем больше изменение тела в некотором направлении, телм больше действие силы в этом же направлении.
Градиент – есть изменение в единичном расстоянии на самом быстро меняющемся направлении.

Контрольные вопросы

1. 
   В чем различие между понятиями энергии и работы?
   
2. 
   Как найти работу переменной силы?
   
3. 
   Какую работу совершает равнодействующая всех сил, приложенных к телу, равномерно движу­щемуся по окружности?
   
4. 
   Что такое мощность? Вывести ее формулу.
   
5. 
   Дайте определения и выведите формулы для известных вам видов механической энергии.
   
6. 
   Какова связь между силой и потенциальной энергией?
   
7. 
   Почему изменение потенциальной энергии обусловлено только работой консервативных сил?
   
8. 
   В чем заключается закон сохранения механической энергии? Для каких систем он выполняет­ся?
   
9. 
   Необходимо ли условие замкнутости системы для выполнения закона сохранения механической энергии?
   
10. 
    В чем физическая сущность закона сохранения и превращения энергии? Почему он является фундаментальным законом природы?
    
11. 
    Каким свойством времени обусловливается справедливость закона сохранения механической энергии?
    
12. 
    Что такое потенциальная яма? потенциальный барьер?
    
13. 
    Какие заключения о характере движения тел можно сделать из анализа потенциальных кри­вых?
    
14. 
    Как охарактеризовать положения устойчивого и неустойчивого равновесия? В чем их разли­чие?
    
15. 
    Чем отличается абсолютно упругий удар от абсолютно неупругого?
    
16. 
    Как определить скорости тел после центрального абсолютно упругого удара? Следствием каких законов являются эти выражения?