Лекция №4. Определение и свойства первообразной функции и неопределенного интеграла. Таблица неопределенных интегралов. Замена переменной и интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных функций

Определение. Если сходится интеграл , то называется абсолютно сходящимся.
Определение. Интеграл называется условно сходящимся, если он сходится, а интеграл расходится
Теорема 3. Если сходится, то сходится и интеграл
Рассмотрим интеграл, который применяется при исследовании сходимости многих несобственных интегралов:

а) При , - расходится,
б) При , - расходится,
в) При - сходится.
Итак,
Несобственные интегралы II рода (от разрывной функции)
Пусть функция f(x) определена и непрерывна для axb, а в точке х = b функция либо не определена либо терпит разрыв. В этом случае интеграл может не существовать т.к. f(x) не непрерывна на отрезке [a; b].И говорить о нем как о пределе интегральных сумм нельзя.
Определение. Будем говорить, что интеграл от функцииf(x),разрывной в точке x=b,сходится,если предел

существует и он конечен. Впротивном случае,интеграл от разрывной функции расходится.
Если функция терпит разрыв в левом конце,(то есть при х=а),то по определению =
Теорема 1. Пусть на отрезке [a; b] функция f(x) и (x) терпит бесконечный разрыв в точке х = с и во всех точках отрезка [a;b], кроме х= с, выполняется неравенство (х) f(x)  0.Тогда:
1. Если интеграл сходится, то сходится и интеграл
2. Если интеграл расходится, то расходится и интеграл
Теорема 2. Если сходится, то сходится и интеграл
Также можно показать, что как в случае первого типа