Лекция №4. Определение и свойства первообразной функции и неопределенного интеграла. Таблица неопределенных интегралов. Замена переменной и интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных функций

Определение определённого интеграла. Пусть дана функция у=f(x) на отрезке [ a , b ] непрерывная.
Выполним следующие действия:

1. 
   Разобьём отрезок на n – частей
   

a = x₀ < x₁ < x₂ < ... < x_n = b [ x_{0 ,} x₁ ] , [ x_{1 ,}x₂ ] ... [ x_{n-1 ,} x_n].
2. В каждом из отрезков [ x_{i-1 ,}x_i ] выберем произвольно по точке ξ_i. Находим значение функции в этих точках как f(ξ_i) .
С оставим произведение f(ξ_i)∆x_i,где ∆x_i=x_i- x_i-1

Пусть n→∞,n- число малых отрезков, причём max │∆x_i│→0

Определение. Конечный предел интегральной суммы, независящий от способа разбиения отрезка [а,b] на n- частей и от выбора точек ξ_i в каждой из них, называется определённым интегралом от функции f(х) по отрезку [а,b]

здесь х– интегральная переменная, f(х) – подынтегральная функция, f(х)dx– подынтегральное выражение, а – нижняя граница интегралов или нижний предел, b– верхняя граница или верхний предел
Определение. Функция у=f(х), для которых существует интеграл называется интегрируемой на отрезке [а,b]
Теорема. (О существовании определённого интеграла).
Если функция у= f(х) непрерывна на отрезке [а,b], то она интегрируема на этом отрезке.
Условия непрерывности функции являются достаточными для существования определённого интеграла.
В общем случае, если функция ограничена на отрезке [а,b] и имеет конечное число точек разрыва, то она интегрируема.