Лекция №4. Определение и свойства первообразной функции и неопределенного интеграла. Таблица неопределенных интегралов. Замена переменной и интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных функций

Пример 1.


Более сложных вычислений требует интегрирование простейших дробей IV типа.








Подставляя в интеграл 4-го типа найденные интегралы , , получим

Пример 2.












Пример 3.

Всякую правильную рациональную дробь , где mПусть
a, b, p, q, R, S – const, , , ,  - натуральные числа
Теорема: Всякую правильную рациональную дробь , где
можно разложить в виде:

Простым действительным линейным множителям знаменателя соответствуют простейшие дроби I,II типов, а квадратичным множителям соответствует I и IV типа.
Итак, можно вписывать правило интегрирования рациональных дробей.

1. 
   Если рациональная дробь неправильная, то путем деления числителя на знаменатель выделить из нее целую часть и записать эту дробь как суммы этой целой части и правильной дроби.
   
2. 
   Знаменатель правильной дроби разложить на линейные и квадратичные множители.
   
3. 
   Правильную дробь разложить в сумму простейших дробей с неизвестными коэффициентами.
   
4. 
   Найти эти неизвестные коэффициенты.
   
5. 
   Найти интеграл от целой части и от полученных простейших дробей.
   

Рассмотрим примеры.
Пример 4.
Все корни действительные и различные в этом случае дробь разлагается на простейшие дроби I типа



Для нахождения A,B,C применим метод частных значений.
при x=-2 35А=105 А=3
при x=3 40В=80 В=2
при ; c=5