Лекция №4. Определение и свойства первообразной функции и неопределенного интеграла. Таблица неопределенных интегралов. Замена переменной и интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных функций

Пример 2.



. Модуль и аргумент комплексного числа. Операции над комплексными числами. Интегрирование простейших дробей. Разложение рациональных дробей на простые дроби. Интегрирование рациональных функций.
План

1. 
   Модуль и аргумент комплексного числа.
   
2. 
   Операции над комплексными числами.
   
3. 
   Интегрирование простейших дробей.
   
4. 
   Разложение рациональных дробей на простые дроби.
   
5. 
   Интегрирование рациональных функций.
   

Понятие комплексного числа. Понятие комплексного числа представляет собой расширенное понятие действительных чисел. Многие правила арифметики действительных чисел могут быть перенесены на комплексные числа. На комплексную область могут быть перенесены многие разделы действительного анализа. Так возник комплексный анализ, в основе которого лежит теория аналитических функций.
Исторически комплексные числа обязаны своим возникновением, главным образом, попытке найти решение алгебраических уравнений, например:
Определение. Множеством комплексных чисел называется множество, состоящее из чисел вида: , где х и у действительные числа, а i – называемая мнимая единица, удовлетворяющая условию .
Числа x и y называются соответственно действительной и мнимой частями комплексного числа z и обозначаются , .
Например: z = 2+4i Rez =2, Im z =4.
Два комплексных числа называются равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части: если .
Комплексное число называется сопряженным комплексному числу , и обозначается .
Геометрически комплексное число можно изобразить с помощью точки, абсцисса которой равна x, а ордината – y.
Комплексное число z также можно изобразить с помощью вектора с началом в точке О и концом в точке (x; y)

y


z

Ось Ох - называется действительной осью, ось Оу – мнимой.

Положение точки, изображающей комплексное число z, можно определять также с помощью полярной системы координат r и .
Число r - называется модулем комплексного числа z и обозначается , число называется аргументом комплексного числа z и обозначается
Если , то по определению модуля и аргумента следует, что

(1)

Нужно отметить, что аргумент z определяется не однозначно, а с точностью до слагаемого кратного 2 :

, ,
где есть главное значение аргумента z, определяется условиями: .
(2)

Заметим также, что при z =0 Arg z не имеет смысла.

Пользуясь формулами (1), можно всякое комплексное число, отличное от нуля, представить в тригонометрической форме.

с помощью формулы Эйлера, связывающие функции .

можно от геометрической записи перейти к показательной форме комплексного числа, т.е. , где r – модуль, а - аргумент комплексного числа z.
Итак, - алгебраическая, - тригонометрическая, а - показательная форма записи комплексного числа.