Лекция №4. Определение и свойства первообразной функции и неопределенного интеграла. Таблица неопределенных интегралов. Замена переменной и интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных функций

Пример 5.
Корни знаменателя действительны, причем некоторые из них кратные


Метод частных значений:
При x=2 5c=10; c=2; при x=-3; 25A =5;
При x=0 4A-6B+3c=2;

Пример 6.
. Среди корней знаменателя есть комплексные неповторяющиеся (т.е. различные).


полагая x=1 2c=1; c= полагая x=0 x=0 C-B=0; B=C; B=

I-интеграл был рассмотрен в примере №2 IV типа.
Из всего вышеизложенного следует, что интеграл от рацио-нальной функции может быть выражен через элементарные функции в конечном виде, а именно:через логарифмическую функцию-в слу-чае I типа, через рациональную функцию-в случае II типа, через ло-гарифмическую и arctg-в случае III типа, через рациональную и arctg -в случае IV типа.
. Интегрирование некоторых выражений с тригонометрическими функциями. Интегрирование с помощью универсальной подстановки.
План:

1. 
   Интегрирование некоторых выражений с тригонометрическими функциями.
   
2. 
   Интегрирование с помощью универсальной подстановки.
   

1. 
   Рассмотрим интегралы вида рациональная функция относительно функций. Такие интегралы приводятся к интегралам от рациональной функции с помощью подстановки tg (универсальная подстановка). Выразим sinx, cosx, иdx через t.
   

x=2arctgt; dx= ;

cosx= ; ;
Пример. =

Итак, интеграл вида I всегда может быть приведен к интегралу от рациональной функции с помощью универсальной подстановки.
Но вычисление этих интегралов с такой подстановкой приводит к сложным преобразованиям. Покажем некоторые простые подстановки:
1) Если интеграл имеет вид , то подстановка sinx=t , cosxdx=dt приводит этот интеграл к виду:
2) Если интеграл имеет вид; , то он приводится к интегралу от рациональной функции заменой cosx=t, -sinxdx=dt.
3) Если подинтегральная функция зависит только от tgx, то замена tgx=t, x=arctgt,
dx= приводит этот интеграл к интегралу от рациональной функции:
4) Если интегральная функция имеет вид: R(sinx, cosx), но sinx и cosx входят только в четных степенях, то применяется та же подстановка. tgx=t, так как sin xи cos x выражаются рационально через tgx:


cos sin ;dx=