Лекция №4. Определение и свойства первообразной функции и неопределенного интеграла. Таблица неопределенных интегралов. Замена переменной и интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных функций

Вспомогательная теорема 2 Если g(x) = 0 при всех x(a;b), то g(x) = C на (a;b).
Доказательство. Пусть g(x) = 0 во всех точках (a;b). Зафиксируем точку x₁(a;b). Тогда для любой точки x(a;b) по формуле Лагранжа имеем g(x) – g(x₁) = g()(x – x₁)
Так как (x; x₁), а точки x и x₁ принадлежат промежутку (a;b), то g() = 0, откуда следует, что g(x) – g(x₁)=0, то есть g(x) = g(x₁)=const.
Теорема 2. Если F(x) есть первообразная для f(x) на промежутке (a;b), а G(x) – другая первообразная для f(x) на (a;b), то G = F + C, где C – число.
Доказательство. Возьмем производную от разности G – F: (G – F) = G – F = f – f = 0. Отсюда следует: G – F = C, где C число, то есть G = F + C.
Множество всех первообразных для функции f(x) на промежутке (a;b)называется неопределенным интегралом и обозначается _f(x)dx. Если F(x) – первообразная для f(x), то _f(x)dx = F(x) + C, где C – произвольное число.
Вычисление неопределенного интеграла от заданной функции называется интегрированием.
Из определения неопределенного интеграла следует, что каждой формуле дифференциального исчисления F(x) = f(x) соответствует формула _f(x) dx = F(x) + C интегрального исчисления. Отсюда получается таблица неопределенных интегралов:

1)  dx = x + C;	7)  cosx dx = sinx + C;
2)  x^dx= (1);	8) ;
3) ;	9) ;
4)  e^xdx =e^x+C;	10)
5)  a^xdx =a^xlogae+C (1) ;	11)
6)  sinx dx=-cosx + C;	12) .

Неопределенный интеграл обладает следующими свойствами:

1) ( f(x) dx )=f(x);	4) d f(x)=f(x)+C;
2) f (x) dx= f(x)+C;	5) kf(x)dx=kf(x) dx;
3) d f(x) dx= f(x)dx;	6) (f(x)+g(x))dx= f(x) dx+g(x) dx ;
Если f(x) dx = F(x) + C, то f(ax+b) dx = (a 0).

Все эти свойства непосредственно следуют из определения.

Интегрирование методом замены переменной или способ подстановок
Пусть требуется найти интеграл , причем непосредственно подобрать первообразную для f(x) мы не можем, но нам известно, что она существует.
Сделаем замену переменной в подынтегральном выражении, положив , (1)
где -непрерывная функция с непрерывной производной, имеющая обратную функцию. Тогда . Докажем, что в этом случае имеет место следующее равенство
(2)
Доказательство: . Правую часть равенства (2) будем дифференцировать по x как сложную функцию, где t-промежуточный аргумент.
Таким образом имеем

_{Следовательно, производные по} x от правой и левой частей равенства (2) равны.При интегрировании иногда целесообразнее подбирать замену переменной в виде не x= (t),а . Пусть нужно вычислить интеграл здесь удобно, ,

Пример 1: . , .

Пример 2: ,


Интегрирование по частям
Пусть u и v-две дифференцируемые функции от х. Тогда, как известно, дифференциал произведения uvвычисляется по следующей формуле отсюда интегрируя получим или (1)
формула (1) называется формулой интегрирования по частям.
Для применения этой формулы подынтегральное выражение следует представить в виде произведения одной функции на дифференциал другой функции.
1.Если под интегралом стоит произведение логарифмической или обратной тригонометрической функций на алгебраическую, то за u обычно принимают не алгебраическую функцию.
2.Если G(x),где G(x)-обратная тригонометрическая функция или f(x)=P (x)log x т.е. интегралы вида:
(x)arcsinxdx, (x)arccosxdx, (x)arctgxdx, или

Пример 1.



Задача усложняется, поэтому за u надо брать
2. Если под интегралом стоит произведение тригонометрической или показательной функции на алгебраическую, то за u обычно принимают алгебраическую функцию.