Лекция 6 проблема быстрых и медленных

Средние, быстрые и медленные времена. 
Пусть имеется три группы переменных с различными характерными 
временами: 
Переменные изменяются с разными характерными временами, причем 
.
Пусть мы наблюдаем за переменной y, характерное время изменения которой 
- T
y
. Тогда за время T
y
«совсем медленная» переменная zпрактически не будет изменяться, 
и ее можно считать постоянным параметром, обозначим его z
*
.
Система дифференциальных уравнений с учетом этого обстоятельства будет 
содержать два уравнения и может быть записана в виде: 
Отметим, что z
*
не является истинно стационарным значением, «медленная» 
переменная z будет продолжать меняться и «вести» за собой более быстрые 
переменные x и y. В этом смысле медленная переменная является ведущей, или 
«параметром порядка».
Рассмотрим теперь уравнение для x. Эта «быстрая» переменная изменяется 
значительно быстрее, чем y, и за время T
y 
успеет достичь своего стационарного значения. 
Значит, для переменной x дифференциальное уравнение можно заменить алгебраическим:
P(x, y, z
*
)
=0
 
или
.
Таким образом, благодаря учету иерархии времен, исходную систему из трех 
дифференциальных уравнений удается свести к одному дифференциальному уравнению 
для переменной y:

---

В химической кинетике метод такой редукции системы был впервые предложен 
Боденштейном и носит название метода квазистационарных концентраций (КСК).
Обычно он применяется для систем химических реакций, промежуточные 
продукты которых являются частицами с высокой реакционной способностью. 
К ним относятся каталитические процессы, свободно радикальные и цепные 
реакции. 
В процессах с участием активных промежуточных частиц разность скоростей 
образования v
о 
и расхода v
р 
этих частиц мала по сравнению с этими скоростями. Режим 
называется квазистационарным, а 
отвечающие 
ему 
концентрации 
активных 
промежуточных веществ квазистационарными концентрациями.
Дифференциальные уравнения для промежуточных соединений:
можно заменить алгебраическими:
.
Из l алгебраических уравнений можно выразить l квазистационарных концентраций 
промежуточных химических соединений. По мере расходования исходных веществ, 
квазистационарные концентрации промежуточных соединений будут меняться, но если 
время установления квазистационарного режима мало, он не будет нарушаться в течение 
всего процесса.
Конечно, такое рассмотрение не правомерно для начальных стадий процесса, 
когда R
i 
меняются от нуля до своих квазистационарных значений. Этот период носит 
название периода индукции.
Разработке метода КСК и оценке длительности периода индукции посвящены работы 
Бенсона, Семенова, Франк-Каменецкого.
Аналогичная ситуация имеет место в биохимических ферментативных процессах, где 
процессы образования и распада фермент-субстратного комплекса происходят 
значительно быстрее, чем процессы расходования субстрата и образования продукта.