Лекция составление математических моделей экспериментально-статистическими методами

Лекция 3. СОСТАВЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНО-СТАТИСТИЧЕСКИМИ МЕТОДАМИ
План:
1.Примеры математического описания.
2. Виды регрессии. Линейная регрессия от одного параметра. Параболическая регрессия. Трансцендентная регрессия.
3. Корреляционный анализ.


Составление математических моделей
экспериментально-статистическими методами.

Если моделируемый объект изучен не достаточно и отсутствует возможность составления детерминированной модели, то прибегают к экспериментально -статистическому методу составления модели. Процесс при этом рассматривается как «черный ящик». Статистический материал может быть собран на основе пассивного или активного эксперимента.

Пассивный эксперимент- когда ставится большая серия опытов с поочередным варьированием каждой из переменных или собирается информация об изменениях отдельных параметров в дейтсвующей установке и собранный статистический материал обрабатывается методами регрессивного и корреляционного анализа.
Активный эксперимент позволяет сократить число опытов , т.к. он проводится по заранее составленному плану с использованием современных методов планирования экспериментов.
Используя при обработке опытных данных принципы регрессионного и корреляционного анализа можно получить математическую модель( функцию отклика ) данного процесса.
y = f (X_1,X₂,....X_k)

Х₁,Х₂,...Х_k- факторы

Уравнение регрессии полученное на основе опыта в общем случае имеет вид:

b₀ - свободный член

b_j - линейный эффект
b_jj - квадратичный эффект
b_uj - эффект взаимодействия
При обработке экспериментальных данных получаются выборочные коэффициенты регрессии b_o,bi,buj,bjj.
Коэффициенты данного уравнения определяются методом наименьших квадратов ( МНК) из условия:

14. 
    объём выборки ( т.е. берется определенная часть экспериментальных данных, а не все), т.е. сумма квадратов отклонений , должен быть минимальным.
    

Рассмотрим результаты какого-то эксперимента, где необходимо установить взаимосвязь между двумя параметрами (рис.3). Весь интервал Х на поле корреляции разбивается на равные Х . Все точки попавшие в этот интервал относятся к его середине Х_i. Для каждого Х_i подсчитываются частные средние Y_i

Х
n_i- число точек в интервале Х_j

14. 
    объём выборки Рис.3.
    

11. 
    число интервалов разбиения.
    

Затем последовательно соединяют точки ( X_j,Y_j) отрезками прямой. Полученная ломанная, называется эмпирической линией регрессии Y по X. По виду этой линии можно подобрать уравнение регрессии Y= f(x).
Задача определения параметров уравнения регрессии сводится к определению минимума функции многих переменных.
Если Y= f ( x;b_o;b₁;b₂;....) есть функция дифференцируемая и требуется выбрать так, чтобы

Необходимым условием минимума функции Ф(b_o;b₁;b₂) является выполнение следующих равенств,

.
или , после преобразований можно написать и так:

раскрыв скобки, после преобразований можно написать:

Данная система уравнений содержит столько же уравнений сколько неизвестных коэффициентов b_o;b₁;b₂ ..... входят в уравнение регрессии и называется в математической статистике системой нормальных уравнений.

Величина Ф0 при любых b_o;b₁;b₂, следовательно, существует хотя бы один минимум.
Поэтому если система нормальных уравнений имеет единственное решение, то оно и является минимумом для величин Ф. Решать данную систему уравнений в общем виде нельзя. Для этого надо задаться конкретным видом функции.
Например: Необходимо составить математическое описание какого-либо технологического процесса (ТП) (рис.4.).

ТП
X У

Рис.4.
Выходной параметр Y у данного технологического процесса зависит от входного параметра X, т.е. существует определенная функциональная зависимость y = f (x). (Например: различным значениям давления в замкнутом сосуде соответствуют различные значения температуры кипения раствора).

Если невозможно получить математическое описание этой зависимости аналитическим способом, обычно используют экспериментально-статистический метод моделирования. Для этого проводят эксперимент. Варьируя значениями входной величины (x), получают значения выходной величины (y).


Подставляя эти значения в систему координат и соединив эти линии прямыми линиями получают “ломанную” линию регрессии (рис.5). Форма “ломанной” линии может иметь различный вид. Например: прямой линии, параболы или другой вид. У
У=К*Х
Х
Рис.5.
По виду “ломанной” линии регрессии выбирают уравнение (например y = k x, т.е. уравнение прямой линии, проходящей из начала координат) и используя метод наименьших квадратов находят коэффициенты этого уравнения.
По данному методу необходимо выполнение следующего условия.
(1.1)

(т.е. отклонения экспериментальных точек от расчетных должны быть минимальными),

где N - число экспериментов;