Лекция составление математических моделей экспериментально-статистическими методами

Линейная регрессия от одного параметра.

Требуется определить по МНК коэффициенты линейного уравнения регрессии.

Y=b_o+b₁X
по выборке объёма N.
Система нормальных уравнений при этом будет иметь вид:
или
Коэффициенты b₀ и b₁ находят с помощью определителя, используя правило Крамера
После нахождения уравнения регрессии , необходимо провести статистический анализ результатов, заключающийся в следующем:
проверяется значимость всех коэффициентов регрессии в сравнении с ощибкой воспроизводимости и устанавливается адекватность уравнения. Такое исследование называется регрессионным анализом.
Для проведения регрессионного анализа необходимо выполнение следующих условий:

1. 
   Входной параметр Х измеряется с большой точностью. Появление ошибки при определение У объясняется наличием каких-то других переменных, которые не вошли в уравнение регрессии;
   
2. 
   Результаты наблюдений У₁, У₂.....У_N представляют собой независимые нормально распределённые случайные величины;
   
3. 
   Выборочные дисперсии S₁²,S₂²,S₃².....S_N² должны быть однородны.
   

Определение однородности дисперсий сводится к следующему:

1. 
   Определяется среднее из результатов параллельных опытов
   

2. 
   Определяется выборочные дисперсии:
   

3. 
   Находится сумма дисперсий
   

4. 
   Составляется отношение
   

S²_max - максимальное значение выборочной дисперсии.
Если дисперсии однородны, то


G_p(N,m-1) - табулированное значение критерия Кохрена, при уровне значимости, р.
Если выборочные дисперсии однородны, рассчитывается дисперсия воспроизводимости.

Она необходима для оценки значимости коэффициентов уравнения регрессии.

Эта оценка производится по критерию Стьюдента

b_j - j-тый коэффициент уравнения регрессии.

S_bj -среднее квадратичное отклонение j-го коэффициента.
Если t_j больше табулированного t_p (f) , то коэффициент b_j отличается от нуля.

Незначимые коэффициенты исключаются из уравнения регрессии. Оставшиеся коэффициенты пересчитываются заново ( т.к. коэффициенты закоррелированы друг с другом).

Адекватность уравнения проверяется по критерию Фишера:
где, S²_ост - остаточная дисперсия, l- число связей
Если F < F_p(f₁,f₂) то уравнение адекватно.

При отсутствии параллельных опытов S²_ост сравнивается с S_y² - дисперсия относительно среднего.

В этом случае критерий Фишера показывает во сколько раз уменьшается рассеяние относительно полученного уравнения регрессии, по сравнению с рассеянием относительно среднего.