M a ’ru z a Chega ra la ri cheksiz xosmas in te g ra lla r

a
r
lim f f (x ) dx
a
mavjud va chekli boiadi:
f
tl~im»+< » f f{x)dx = J f (x ) d x . j »
a a
(2) tenglikdan foydalanib, / -> +<*> da
t +00 A
lim f f ( x ) d x - f f (x ) dx - [ f{x)dx
t ~ * + 0 0 j j j
b a a
+ 0 0
boiishini topamiz. Demak, J f{x)dx integral yaqinlashuvchi va
h
+00 +00 b
J f (x)dx = J f (x ) dx - j f{x)dx
b a a
boiadi.
-foo
Aytaylik, J f (x) dx integral yaqinlashuvchi boisin. Demak,
h
t
lim f f (x)dx = f f (x)dx
f—>+»o J J
b
chekli boiadi.
(2) tenglikdan, i -> +00 da
b
lim j f (x)dx = J f (x) dx + J f (x)dx
29'
bo'lishi kelib chiqadi. Demak, J f (x)dx integral yaqinlashuvchi va
a
b j f (x ) dx = J f (x) dx + J f (x) dx
a a b
bo‘ladi. ►
2- xossa. Agar J f (x ) dx integral yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda
■H» a
J C • f (x ) d x ham (Oconst) yaqinlashuvchi bo‘lib,
J C f ( x ) d x =C J f (x)dx
a a
bo'ladi.
+ 0 0
3- xossa. Agar J f (x ) dx integral yaqinlashuvchi bo‘ lib,
a
V ie [fl,+o°) da / (x ) > 0 bo‘lsa, u holda
J f (x ) dx > 0
a
bo'ladi.
+00 +00
4- xossa. Agar J f (x ) dx va J g(x)dx integrallar yaqinlaa
a
+ 0 0
shuvchi bo‘lsa, u holda J (/ (x ) ± g(x))dx integral ham yaqinlaa
shuvchi bo‘lib,
+ ° ° + ≪ o + 0 0
J ( f (x )Ѓ}g (x ) ) dx = J f (x) dxЃ} J g(x)dx
a a a
b o ia d i.
298
-t-OO
5 - xossa. Agar Vxe [ц,+oo) da f ( x )< g ( x ) boiib, J f (x ) dx
+co a
va | g(x)dx integrallar yaqinlashuvchi boisa, u holda
a +®° +00
J f (x ) dx <, J g(x)dx
a a
boiadi.
2- va 5- xossalaming isboti xosmas integral va uning yaqinlashuvchanligi
ta’riflaridan bevosita kelib chiqadi.
Faraz qilaylik,/ (x) va g(x) funksiyalar la,+~) da berilgan boiib,
/(x) funksiya chegaralangan (m < f (x) < M, x e [a, +°°)), g (x ) funksiya
esa o‘z ishorasini o‘zgartirmasin (Vxel<2,+«>) da har doim
g(x) > 0 yoki g (x ) < 0 ).
•feo + « 0
6-xossa. Agar J f{x) • g(x)dx va J g(x)dx integrallar yaqina
a
lashuvchi boisa, u holda shunday o‘zgarmas n(/w <\x< M) topiladiki,
+ 0 0 + ≪ 0
J f{x) g(x)dx = n J g(x)dx (3)
a a
boiadi.
< Aytaylik, Vxe da g (x ) > 0 boisin. U holda
m • g(x) < / (x )g (x ) < Mg{x)
boiib,
r t t
m]g{x)dx < J/ (x )g (x )d x < M]g{x)dx
a a °
ifodaga ega boiamiz. Bu tengsizliklardan, *->+<>o da limitga o'tsak,
unda
+ 0 0
m J g{x)dx < J f (x) g (x) dx < M J g(x)dx
a a a
bo iish i kelib chiqadi.
299
Ravshanki, J g{x)dx = 0
a
bo‘lganda (3) tenglik bajariladi.
■foo
Aytaylik, J g(x)dx > 0
I f(x)g(x)dx
bo‘lsin. Bu holda m < —--+-CO------------ < M
| g(x)dx
bo'ladi. Agar
i f ( x ) g ( x ) d x
a
\ g (x)dx
a
deb olinsa, unda m<\i< M bo‘lib,
+oo
J f i x ) ■ g(x)dx = n • J g(x)dx
a a
bo‘ladi.
Vxg (fl,+<») da g (x ) < 0 bo‘lganda (3) tenglikning bajarilishi
yuqoridagidek isbotlanadi. ►
Odatda, bu xossa o‘rta qiymat haqidagi tcorema deyiladi.
3°. Xosmas integralning yaqinlashuvchanligi. Aytaylik, / (x) funksiya
[ї7,+oo) oraliqda berilgan boisin.
Ma’lumki, J f(x)dx
a
xosmas integralning yaqinlashuvchanligi ushbu
F(t) = J f(x)dx, (t > a)
a
funksiyaning t -» +oo da chekli limitga ega bo‘lishidan iborat.
* ^ ***«-* I W4Koshi teoremasi, ya’ni F(t) funksiyaning / -» +00 da chekli limitga
ega bo‘lishi uchun
Ve > 0, 3/0 > a, V/' > /0, v r > t0 : \F(t') - F{t')\ < e
tengsizlikning bajarilishi zarur va yetarli ekani keltirilgan edi. Bu
tushuncha va tasdiqdan
+ 0 0
J f (x ) dx (4)
xosmas integralning yaqinlashuvchanligini ifodalaydigan quyidagi
teoremaga kelamiz.
Teorema. (Koshi teoremasi.) (4) integral yaqinlashuvchi bo‘lishi
uchun Ve > 0 son olinganda ham shunday t0 e R (t0 > a) topilib,
ixtiyoriy t '> t0, t* > t0 bo'lganda
J f ( x ) d x < Ј
I f
tengsizlikning bajarilishi zarur va yetarli.
Mashqlar
+00
1. Ushbu J je sin xdx xosmas integral yaqinlashuvchi bo'ladimi?
2 .Ushbu [ 7-— dx = -~ tenglik isbotlansin.
0 (Ux2) *


45- та ’ruza
Integralning yaqinlashuvchanlik a lom a tla ri. Integralning
bosh qiymati
1°. Dirixle alomati. Faraz qilaylik,/(x) vag(jc) funksiyalar [я,+°о)
oraliqda berilgan bo'lsin.
1- teorema. (Dirixle alomati.) / (* ) va g(x) funksiyalar quyidagi
shartlarni qanoatlantirsin:
1) f ( x ) funksiya [я,+°°) da uzluksiz va uning shu oraliqdagi
boshlang'ich F(x) , (F' (x) = f ( x ) ) funksiyasi chegaralangan;
2) g(x) funksiya [o,+°o) da uzluksiz g (x ) hosilaga ega;
3)g(.x) funksiya (ї7,+oo) da kamayuvchi;
4) lim g (x ) = 0.
X—>-foo
+00
U holda J f ( x ) g ( x ) d x
a
integral yaqinlashuvchi bo‘ladi.
■4 Ravshanki,
f ( x ) e C ( ( ы ,+ oo) ) , g ( * ) e C ( [ ы ,+ oo) ) => f ( x ) g ( x ) e C ( [ a ,+ o o ) )
bo‘ladi. Binobarin, f ( x ) ■ g ( x ) funksiya [a , t ] , (a -н») oraliqda
integrallanuvchi bo‘ladi. Bo‘laklab integrallash formulasidan hamda
teoremaning 1- va 2- shartlaridan foydalanib topamiz:
Jr t I' f f ( x ) g ( x ) d x = J g (x ) dF (x ) =g (x )F(x ) -J f ( x ) g ' ( x ) d x . (1)
a a \ a a-
Endi
^ ( 0 ^ ( 0 1 ^ Mg ( t ) , (M = sup l/XOl < +°°)
2. к ning q an d a y q iym a tla rid a
310
g ( t )F ( t ) - » 0
boiishi kelib chiqadi.
Berilishiga ko‘ ra, g(x) funksiya [ц,+°°) oraliqda uzluksiz difTerensiallanuvchi
hamda shu oraliqda kamayuvchi funksiya. Demak,
\fx e [fl,+°o) da
g\ x ) <0
bo‘ladi. Shuni e ’tiborga olib topamiz:
t t 1
J \F(x)g\x)fix < M J \g'(x)\dx = -M J g\x) dx =
a a a
= M (^(fl) - g ( t ) ) < Mg{d), ( g{t ) > 0).
Unda 44- ma’ruzadagi 2- teoremadan foydalanib
+ 0 0
J F(x) g ' (x)dx
a
xosmas integralning yaqinlashuvchi ekanligini aniqlaymiz.
(I) tenglikda t +00 da limitga o‘tib, ushbu
t
lim f f ( x ) g ( x ) d x r—≫+00 J
bo‘ lishini e ’tiborga olsak, undan t -> +oo da
a
limitning mavjud va chekli bo‘lishini topamiz. Bu esa f f ( x ) g ( x ) d x
integralning yaqinlashuvchi bo'lishini bildiradi. ►
+00
r sin X Misol. Ushbu J = ------dx, ( a > 0) integral yaqinlashuvchan-
1 x
likka tekshirilsin.
4 Berilgan integralni quyidagicha
ko‘rinishda yozib, f i x ) = s in x , g i x ) = — deymiz. Bu funksiyalar
xa
yuqorida keltirilgan teoremaning barcha shartlarini qanoatlantiradi.
1) f i x ) = sin X funksiya [1,+°°) oraliqda uzluksiz va uning boshlang‘
ich funksiyasi F{x) = - c o s x funksiya [1,+«») da chegaralangan;
2) g i x ) = -1 -, ( a > 0) funksiya (l,+°o) da
X
// \ cx
hosilaga ega va u uzluksiz;
3) g i x ) = ( a > 0) funksiya [1,-н») da kamayuvchi;
X
4) lim g ( x ) = lim — = 0, ( a > 0 ).
X — > + o o X - > + o o X a
Unda Dirixle alomatiga ko‘ra
Т1РЦ(a>0) I л
integral yaqinlashuvchi bo‘ladi. ►