M. H. Shermatov, O. I. Egamberdiyev funksional analiz va integral tenglamalar

ralangan f funksiya uchta funksiya yig`indisi ko`rinishida tasvirlanadi,

f (x) = H(x) + ψ(x) + χ(x),

(17.17)

bu yerda H sakrashlar funksiyasi, χ singulyar funksiya, ψ absolyut uzluksiz

funksiya.

Bu funksiyalar f funksiya yordamida o`zgarmas qo`shiluvchi aniqligida

bir qiymatli aniqlanadi. Agar bu funksiyalardan ixtiyoriy ikkitasini x = a

nuqtada nolga teng deb aniqlasak, u holda (17.17) yoyilma yagonadir. Uni

dierensiallab, deyarli barcha x lar uchun

f

0

(x) = ψ

0

(x)

(17.18)

tenglikka ega bo`lamiz. (17.18) tenglikni integrallab,

Z

[a, x]

f

0

(t) dµ =

Z

[a, x]

ψ

0

(t) dt = ψ (x)

tenglikka kelamiz. Demak, o`zgarishi chegaralangan f funksiyaning hosilasi

integrallanganda uning faqat absolyut uzluksiz qismi tiklanar ekan, f ning

sakrashlar funksiyasi H , singulyar qismi χ izsiz yo`qoladi.

17.1-misol. Kantorning zinapoya funksiyasini [0, 1] kesmada absolyut

uzluksizlikka tekshiring.

158

Yechish. 6.3-misolda ko`rsatildiki, Kantor to`plami K ning Lebeg o`lchovi

nolga teng. Lebeg o`lchovi ta'riga ko`ra, ixtiyoriy δ > 0 uchun shunday,

o`zaro kesishmaydigan {(a

k

, b

k

)}

n

k=1

invervallar sistemasi mavjudki, quyida-

gilar bajariladi:

K ⊂

n

[

k=1

(a

k

, b

k

),

n

X

k=1

(b

k

− a

k

) < δ.

(17.19)

Ikkinchi tomondan, 6.7-misolda ko`rsatildiki ((6.16)-tenglikka qarang),

µ

K

([0, 1]\K) = 0

va µ

K

([0, 1]) = K(1) − K(0) = 1.

Bu yerda µ

K

Kantorning zinapoya funksiyasi yordamida qurilgan Lebeg-Stiltes

o`lchovi. Bu tenglikdan kelib chiqadiki, µ

K

(K) = 1.

Endi o`lchovning yarim

additivlik xossasidan hamda (17.19) dan foydalansak, quyidagiga ega bo`lamiz:

n

X

k=1

(K(b

k

) − K(a

k

)) = µ

K

Ã

n

[

k=1

(a

k

, b

k

)

!

≥ µ

K

(K) = 1.

Demak, Kantorning zinapoya funksiyasi K absolyut uzluksiz funksiya ta'rini

qanoatlantirmaydi. K absolyut uzluksiz funksiya emas.

∆

Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar

1.

Agar f funksiya [a, b] kesmada Lipshits shartini qanoatlantirsa, u hol-

da f ning [a, b] kesmada absolyut uzluksiz bo`lishini isbotlang.

2.

[a, b]

kesmada aniqlangan uzluksiz hosilaga ega bo`lgan f funksiyaning

[a, b]

kesmadagi absolyut uzluksiz bo`lishini isbotlang.

3.

Agar f funksiya [a, b] da absolyut uzluksiz funksiya bo`lsa, uning tekis

uzluksiz bo`lishini isbotlang.

4.

[a, b]

kesmada tekis uzluksiz, lekin absolyut uzluksiz bo`lmagan funksiya-

ga misol keltiring.

159

18- §. Lebeg-Stiltes integrali

18.1. Lebeg-Stiltes o`lchovlari. Lebeg-Stiltes o`lchovlarini kiritishdan

avval Lebeg o`lchovini aniqlash jarayonini eslaymiz. Sonlar o`qidagi [a, b]

kesmalar, (a, b) intervallar va [a, b), (a, b] yarim intervallar sistemasidan

tashkil topgan yarim halqani S

1

bilan belgilaymiz; tekislikdagi tomonlari

koordinata o`qlariga parallel to`g`ri to`ptburchaklar (6.1-bandga qarang) sis-

temasidan tashkil bo`lgan yarim halqani S

2

orqali belgilaymiz; tekislikdagiga

o`xshash uch o`lchamli fazodagi qirralari koordinata o`qlariga parallel to`g`ri

parallelepipedlar sistemasidan tashkil bo`lgan yarim halqani S

3

orqali bel-

gilaymiz. Lebeg o`lchovini aniqlash (har uchchala holda ham mos ravishda)

S

1

dagi uzunlik, S

2

dagi yuza, S

3

dagi hajm tushunchalariga asoslanib ki-

ritilgan o`lchovlarni dastlab yarim halqani saqlovchi minimal halqaga davom

ettirish va keyin yanada kengroq bo`lgan Lebeg bo`yicha o`lchovli to'plamlar-

ning σ− algebrasiga yoyish usuli bilan amalga oshirilgan edi. Bunda barcha

ochiq va yopiq to`plamlar, ularning chekli va sanoqli birlashmalari va kesish-

malari, bu birlashma va kesishmalarga to`ldiruvchi to`plamlar albatta o`lchovli

to`plamlar bo`ladi. Bunday usul bilan aniqlangan Lebeg o`lchovi sanoqli addi-

tivlik va uzluksizlik xossalariga ega.

Yana sonlar o`qiga va S

1

yarim halqaga qaytamiz. Sonlar o`qida beril-

gan F (x) = x funksiya yordamida S

1

da aniqlangan uzunlik tushunchasini

(o`lchovni) quyidagicha ifodalash mumkin:

m((a, b)) = b − a = F (b) − F (a) = F (b − 0) − F (a),

m([a, b]) = b − a = F (b) − F (a) = F (b) − F (a − 0),

m((a, b]) = b − a = F (b) − F (a) = F (b) − F (a),

m([a, b)) = b − a = F (b) − F (a) = F (b − 0) − F (a − 0).

160

Bu usuldan S

1

da o`lchovlar aniqlash uchun foydalanishimiz mumkin. Bizga

sonlar o`qida aniqlangan kamaymaydigan, o`ngdan uzluksis F funksiya beril-

gan bo`lsin. Har bir [a, b], (a, b), (a, b], [a, b) ko`rinishdagi oraliqlarga F

funksiya yordamida mos ravishda

m((a, b)) = F (b − 0) − F (a),

m((a, b]) = F (b) − F (a),

(18.1)

m([a, b]) = F (b) − F (a − 0),

m([a, b)) = F (b − 0) − F (a − 0). (18.2)

manymas sonlarni mos qo`yamiz. Ishonch hosil qilish mumkinki, (18.1) -

(18.2) tengliklar bilan aniqlangan oraliqlar (kesma, interval va yarim inter-

val) funksiyasi manymas va additivdir. Yarim halqada kiritilgan bu o`lchovga

6 − §

da amalga oshirilgan mulohazalarni qo`llab, qandaydir µ

F

(·)

o`lchovni

qurishimiz mumkin. Sonlar o`qidagi µ

F

o`lchovga nisbatan o`lchovli bo`lgan

to'plamlarning B(S

1

, F )

sistemasi sanoqli yig`indi va sanoqli keshishmaga

nisbatan yopiq bo`ladi, µ

F

o`lchov esa σ− additiv bo`ladi. Umuman olganda,

µ

F

o`lchovga nisbatan o`lchovli to`plamlar sin F funksiyaning tanlanishiga

bog`liq. Ammo R da o`ngdan uzluksiz kamaymaydigan F funksiya qanday

tanlanmasin ochiq va yopiq to`plamlar, shuningdek, ularning barcha chekli va

sanoqli birlashma va kesishmalari, ularga to`ldiruvchi to`plamlar (ya'ni Borel

to`plamlari) o`lchovli to`plamlar bo`ladi.

Sonlar o`qida aniqlangan bunday µ

F

o`lchov F funksiyaning tanlanishiga

bog`liq holda ba'zi hususiyatlarga ega bo`ladi.

Hozir µ

F

o`lchovning ba'zi bir sinari bilan tanishamiz. Bizga Lebeg o`lchovi

µ

va Lebeg-Stiltes o`lchovi µ

F

berilgan bo`lsin.

18.1-ta'rif. Agar Lebeg o`chovi nolga teng bo`lgan ixtiyoriy A to`plam

uchun µ

F

(A) = 0

bo`lsa, u holda µ

F

(Lebeg o`choviga nisbatan) absolyut

uzluksiz o`lchov deyiladi.

18.2-ta'rif. Agar µ

F

o`lchov uchun chekli yoki sanoqli A to`plam mavjud

bo`lib, A bilan kesishmaydigan ixtiyoriy B to`plam uchun µ

F

(B) = 0

161

bo`lsa (bu holat chekli yoki sanoqli qiymat qabul qiluvchi F funksiyalar uchun

o`rinli), u holda µ

F

diskret o`lchov deb ataladi.

18.3-ta'rif. Agar µ

F

o`lchovda istalgan bir nuqtali to`plam nol o`lchovga

ega bo`lsa va Lebeg o`lchovi nolga teng bo`lgan biror A to`plam mavjud bo`lib,

µ

F

(R\A) = 0

bo`lsa, u holda µ

F

singulyar o`lchov deyiladi.

Endi biror [a, b] (−∞ < a < b < ∞) kesmada aniqlangan kamay-

maydigan, o`ngdan uzluksis F funksiyani olamiz. [a, b] kesmada saqlanuv-

chi har bir [α, β] kesmalar, (α, β) intervallar va (α, β], [α, β) yarim

intervallar sistemasidan tashkil bo`lgan S

1

yarim halqada F funksiya orqali

(18.1)-(18.2) tengliklar yordamida m o`lchovni aniqlaymiz. Keyin m o`lchovni

S

1

dan o`lchovni davom ettirishning Lebeg usulidan foydalanib, kengroq

B(S

1

, F ) σ−

algebraga davom ettiramiz. Bu σ− algebra [a, b] kesma-

da saqlanuvchi barcha ochiq va yopiq to`plamlarni, ularning barcha chekli

va sanoqli birlashma va kesishmlarini, bu yig`indi va kesishmalarning to`ldi-

ruvchilarini (demak, [a, b] kesmada saqlanuvchi Borel to`plamlarini) o`zida

saqlaydi.

18.4-ta'rif. Sonlar o`qida yoki [a, b] kesmada berilgan kamaymaydigan,

o`ngdan uzluksiz F funksiya vositasida yuqorida aytilgan usulda qurilgan µ

F

o`lchov Lebeg-Stiltes o`lchovi deb ataladi.

Ko`rsatish mumkinki, istalgan o`lchov absolyut uzluksiz, diskret va singul-

yar o`lchovlar yig`indisi ko`rinishida tasvirlanadi va bu tasvir yagonadir.

18.2. Lebeg-Stiltes integrali. [a, b] kesmada aniqlangan va kamay-

maydigan, o`ngdan uzluksiz F funksiya yordamida hosil qilingan µ

F

Lebeg-

Stiltes o`lchovi berilgan bo`lsin. Bu o`lchov bo`yicha [a, b] kesmada Lebeg

ma'nosida integrallanuvchi funksiyalar sinni qaraymiz va har bir funksiyaga

uning

Z

b

a

f (x)dµ

F

162

Lebeg integralini mos qo`yamiz. µ

F

o`lchov bo`yicha aniqlangan bu integral

Lebeg-Stiltes integrali deb ataladi va uning uchun

Z

b

a

f (x)dF (x)

belgilashdan foydalaniladi.

Lebeg-Stiltes integralining ba'zi xususiy hollarini qaraymiz.

I. Bizga [a, b] kesmada aniqlangan, o`ngdan uzluksiz, kamaymay-digan

sakrashlar funksiyasi F berilgan bo`lsin. U holda µ

F

diskret o`lchov bo`ladi.

Agar x

i

∈ [a, b]

nuqtalar F ning uzilish nuqtalari va h

i

sonlar F funksiya-

ning x

i

nuqtadagi sakrashi bo`lsa, u holda

Z

b

a

f (x)dF (x)

integral

P

f (x

i

)h

i

yig`indiga teng bo`ladi.

II. Agar F funksiya [a, b] kesmada aniqlangan kamaymaydigan absolyut

uzluksiz bo`lsa, u holda

Z

b

a

f (x)dF (x)

Lebeg-Stiltes integrali f(x)F

0

(x)

funksiyaning odatdagi

Z

b

a

f (x)F

0

(x) dx

Lebeg integraliga teng bo`ladi, ya'ni

Z

b

a

f (x)dF (x) =

Z

b

a

f (x)F

0

(x)dx.

(18.3)

Integralning σ− additivlik xossasiga ko`ra, (18.3) tenglikni µ

F

o`lchov

bo`yicha integrallanuvchi sodda funksiyalar uchun ham umumlashtirish mum-

kin. Bizga f funksiyaga tekis yaqinlashuvchi, integrallanuvchi {f

n

}

sod-

da funksiyalar ketma-ketligi berilgan bo`lsin. Umumiylikni chegaralamasdan

{f

n

}

ketma-ketlikni kamaymaydigan deb hisoblashimiz mumkin. U holda

{f

n

(x)F

0

(x)}

- kamaymaydigan ketma-ketlik deyarli hamma yerda f(x)F

0

(x)

163

funksiyaga yaqinlashadi. Demak, {f

n

· F

0

}

ketma-ketlik 13.2-teorema (Levi

teoremasi) shartlarini qanoatlantiradi.

Z

b

a

f

n

(x)dF (x) =

Z

b

a

f

n

(x)F

0

(x)dx

(18.4)

tenglikda n → ∞ limitga o`tib,

Z

b

a

f (x)dF (x) =

Z

b

a

f (x)F

0

(x)dx

(18.5)

tenglikni hosil qilamiz.

Agar F kamaymaydigan funksiya sakrashlar funksiyasi va absolyut uzluk-

siz funksiyalar yig`indisidan iborat bo`lsa, u holda ixtiyoriy f integrallanuvchi

( µ

F

o`lchov bo`yicha) funksiya uchun uning Lebeg-Stiltes integrali qator (yo-

ki chekli yig`indi) va odatdagi Lebeg integralini hisoblashga keltiriladi. Agar

F

kamaymaydigan funksiya singulyar komponentani ham saqlasa, yuqoridagi

tasdiqni aytish mumkin emas.

Lebeg-Stiltes integrali tushunchasini F kamaymaydigan funksiya bo`lgan

holdan Φ o`zgarishi chegaralangan funksiya bo`lgan holga umumlashtirish

mumkin. Aytaylik, [a, b] kesmada o`zgarishi chegaralangan Φ funksiya beril-

gan bo`lib, v esa uning [a, x] kesmadagi to`la o`zgarishi bo`lsin. 15 − § da

olingan natijalarga ko`ra, v(x) , [a, b] da kamaymaydigan, o`ngdan uzluksiz

funksiya bo`ladi. Bundan tashqari g = v − Φ funksiya ham kamaymaydigan,

o`ngdan uzluksiz funksiya bo`ladi. Ya'ni Φ funksiya ikkita monoton kamay-

maydigan funksiyalar ayirmasi Φ = v − g ko`rinishda tasvirlanadi.

Agar f funksiya uchun

Z

b

a

f (x)dv(x)

va

Z

b

a

f (x)dg(x)dx

Lebeg-Stiltes integrallari mavjud bo`lsa, u holda f funksiyaning Φ funksiya

bo`yicha Lebeg-Stiltes integrali

Z

b

a

f (x)dΦ(x) =

Z

b

a

f (x)dv(x) −

Z

b

a

f (x)dg(x)dx

164

tenglik yordamida aniqlanadi.

Aytaylik, Φ o`zgarishi chegaralangan funksiya yana boshqa usulda W va

h

kamaymaydigan funksiyalarning Φ = W − h ayirmasi ko`rinishida tasvir-

lansin. Agar

R

b

a

f (x)dΦ(x)

Lebeg-Stiltes integrali mavjud bo`lsa, u holda

Z

b

a

f (x)dv(x) −

Z

b

a

f (x)dg(x)dx =

Z

b

a

f (x)dW (x) −

Z

b

a

f (x)dh(x)dx

tenglik o`rinli. Mustaqil isbotlang.

Xulosa. f funksiyaning Φ o`zgarishi chegaralangan funksiya bo`yicha

Lebeg-Stiltes integralini hisoblash uchun Φ funksiyaning ikki kamaymaydigan

funksiyalar ayirmasi ko`rinishidagi istalgan tasviridan foydalanish mumkin.

18.1-misol. Quyidagi

Z

∞

0

2

−x

dF (x)

Lebeg-Stiltes integralini hisoblang. Bu yerda A = [0, ∞) yarim o`q, F (x) =

[x]

funksiya esa x ning butun qismiga teng.

Yechish. Ma'lumki, F (x) = [x] funksiya yordamida hosil qilingan µ

F

o`lchov diskret o`lchov bo`ladi. I ga ko`ra,

Z

∞

0

2

−x

dF (x) =

∞

X

n=0

2

−n

(F (n) − F (n − 0))

tenglik o`rinli. Agar F (n) − F (n − 0) = 1 tenglikni e'tiborga olsak, so`nggi

qator yig`indisini hisoblash mumkin. Bu qator b

1

= 1

va maxraji q =

1

2

bo`lgan cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning yig`indisini ifodalaydi.

Demak,

Z

∞

0

2

−x

dF (x) =

∞

X

n=0

2

−n

= 2.

18.2-misol. Quyidagi Lebeg-Stiltes integralini hisoblang.

Z

3

0

(x + 1)dF (x) .

Bu yerda A = [0, 3] kesma, F (x) = x

2

+ 3.

165

Yechish. Ma'lumki, F (x) = x

2

+ 3

funksiya yordamida hosil qilingan µ

F

o`lchov absolyut uzluksiz o`lchov bo`ladi. II ga ko`ra

Z

3

0

(x + 1)dF (x) =

Z

3

0

(x + 1) · 2x dx

tenglik o`rinli. So`nggi integral jadval integrali bo`lib uning qiymati 20 ga

teng. Demak,

Z

3

0

(x + 1)dF (x) = 20.

Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar

1.

Lebeg-Stiltes o`lchovi qanday bo`lganda

R

b

a

f (x)dF (x)

Lebeg-Stiltes integ-

ralini hisoblash masalasi, ma'lum qator yig`indisini hisoblashga keltirila-

di.

2.

F

funksiya qanday shartni qanoatlantirganda

R

b

a

f (x)dF (x)

Lebeg-

Stiltes integralini hisoblash masalasi, odatdagi Lebeg integralini hisoblash-

ga keltiriladi.

3.

R

1

0

K(x)dF (x)

Lebeg-Stiltes integralini hisoblang. Bu yerda F (x) = 2x+

1.

4.

R

1

0

K(x)dF (x)

Lebeg-Stiltes integralini hisoblang. Bu yerda F (x) =

[3x] + 2x.

166

VI bob. Metrik fazolar

Bu bob metrik fazolar va undagi asosiy tushunchalarni bayon qilishga bag`ish-

langan bo`lib, 4 (19-22) paragrafdan iborat.

19-paragrafda metrik fazo ta'rianib, ularga ko`plab misollar keltirilgan. R

n

to`plamda har xil metrikalar kiritilgan. Metrikaning uchburchak tengsizligini

isbotlashda Koshi-Bunyakovskiy, Minkovskiy va Gyolder tengsizliklaridan foy-

dalanilgan. O`z navbatida bu tengsizliklar ham o`z isbotlarini topgan. Koshi-

Bunyakovskiy, Minkovskiy va Gyolder tengsizliklarining integral formasi ham

keltirilgan. Bundan tashqari gomeomorf va izomorf metrik fazolar ta'rianib,

ularga misollar keltirilgan.

20-paragraf esa metrik fazolarda yaqinlashish va undagi ochiq va yopiq

to`plamlarning xossalariga bag`ishlangan. Ochiq va yopiq to`plamlarni ta'riash

uchun biz yordamchi tushunchalar - urinish nuqtasi, limitik nuqta, yakkalan-

gan nuqta va ichki nuqta ta'riarini berganmiz. Keyin yopiq va ochiq to`plam-

larning xossalari isbotlangan. Jumladan metrik fazoda to`plam ochiq (yopiq)

bo`lishining yetarli va zarur shartlari keltirilgan. Yaqinlashuvchi ketma-ketlik

ta'rianib, unga misollar keltirilgan. Metrik fazoning hamma yerida zich va

hech yerda zichmas to`plamlar ta'rianib, ularga misollar qaralgan. R

n

, R

n

p