M. H. Shermatov, O. I. Egamberdiyev funksional analiz va integral tenglamalar

}

ketma-ketlik A to`plamning har bir

nuqtasida f funksiyaga yaqinlashsa va barcha n ∈ N lar uchun |f

n

(x)| ≤

ϕ(x)

tengsizlik bajarilib, ϕ funksiya A to`plamda integrallanuvchi bo`lsa, u

holda limitik funksiya f ham A da integrallanuvchi bo`ladi va

lim

n→∞

Z

A

f

n

(x)dµ =

Z

A

f (x)dµ.

Isbot. Teorema shartidan limitik funksiya f uchun |f(x)| ≤ ϕ(x) teng-

sizlikning bajarilishi kelib chiqadi. Lebeg integralining VII xossasiga ko`ra, f

integrallanuvchi funksiya bo`ladi. Endi ε > 0 ixtiyoriy son bo`lsin. Lebeg in-

tegralining absolyut uzluksizlik xossasiga (12.4-teorema) ko`ra, shunday δ > 0

son mavjudki, agar µ(B) < δ bo`lsa, u holda

Z

B

ϕ(x)dµ <

ε

4

(13.1)

tengsizlik o`rinli bo`ladi. 10.3-Yegorov teoremasiga ko`ra, B to`plamni shun-

day tanlash mumkinki, {f

n

}

ketma-ketlik C = A\B to`plamda f funksiyaga

tekis yaqinlashadi. Demak, shunday N mavjudki, ixtiyoriy n > N lar va ix-

tiyoriy x ∈ C uchun

|f (x) − f

n

(x)| <

ε

2µ(C)

(13.2)

tengsizlik bajariladi. U holda

Z

A

f (x)dµ −

Z

A

f

n

(x)dµ =

Z

C

[f (x) − f

n

(x)] dµ +

Z

B

f (x)dµ −

Z

B

f

n

(x)dµ

125

bo`ladi. Endi

|f (x)| ≤ ϕ(x),

|f

n

(x)| ≤ ϕ(x)

ekanligidan hamda (13.1) va (13.2) lardan

¯

¯

¯

¯

Z

A

f (x)dµ −

Z

A

f

n

(x)dµ

¯

¯

¯

¯ ≤

Z

C

|f (x) − f

n

(x)| dµ +

Z

B

|f (x)| dµ+

+

Z

B

|f

n

(x)| dµ ≤

ε

2µ(C)

· µ(C) +

ε

4

+

ε

4

= ε.

∆

13.1-natija. Agar |f

n

(x)| ≤ M = const

va lim

n→∞

f

n

(x) = f (x)

bo`lsa, u

holda integral belgisi ostida limitga o`tish mumkin, ya'ni

lim

n→∞

Z

A

f

n

(x)dµ =

Z

A

f (x)dµ.

13.1-eslatma. Nol o`lchovli to`plamda funksiyaning qiymatini o`zgartirish

integral qiymatiga (VI xossa) ta'sir qilmaydi, shuning uchun 13.1-teoremada

{f

n

}

ketma-ketlikning f funksiyaga deyarli yaqinlashishini va |f(x)| ≤ ϕ(x)

tengsizlikning ham deyarli barcha x lar uchun bajarilishini talab qilish yetarli.

13.2-teorema (Levi). A to`plamda monoton

f

1

(x) ≤ f

2

(x) ≤ · · · ≤ f

n

(x) ≤ · · · ,

integrallanuvchi {f

n

}

funksiyalar ketma-ketligi berilgan bo`lib, barcha n ∈ N

lar uchun

Z

A

f

n

(x)dµ ≤ K

tengsizlik bajarilsin. U holda A to`plamning deyarli hamma yerida lim

n→∞

f

n

(x) =

f (x)

chekli limit mavjud hamda f funksiya A da integrallanuvchi va integral

belgisi ostida limitga o`tish mumkin, ya'ni

lim

n→∞

Z

A

f

n

(x)dµ =

Z

A

f (x)dµ.

Isbot. Faraz qilaylik, f

1

(x) ≥ 0

bo`lsin. Umumiy hol f

n

(x) = f

n

(x)−f

1

(x)

almashtirish yordamida f

1

(x) ≥ 0

holga keltiriladi.

Ω =

n

x ∈ A : lim

n→∞

f

n

(x) = ∞

o

126

to`plamni qaraymiz. Agar biz Ω

(r)

n

= { x ∈ A : f

n

(x) > r }

to`plamni kirit-

sak, u holda quyidagi tenglik o`rinli bo`ladi:

Ω =

∞

\

r=1

Ω

(r)

, Ω

(r)

=

∞

[

n=1

Ω

(r)

n

.

Chebishev tengsizligiga (12.3-teorema) ko`ra,

µ(Ω

(r)

n

) ≤

1

r

Z

A

f

n

(x)dµ ≤

K

r

.

Har bir tayinlangan r da Ω

(r)

1

⊂ Ω

(r)

2

⊂ . . . ⊂ Ω

(r)

n

⊂ . . .

munosabat o`rinli.

O`lchovning uzluksizlik xossasiga ko`ra

µ

³

Ω

(r)

´

= lim

n→∞

µ (Ω

(r)

n

) ≤

K

r

.

Har bir r uchun Ω ⊂ Ω

(r)

ekanligidan µ(Ω) ≤

K

r

ekanligi kelib chiqadi va r

ixtiyoriy bo`lgani uchun µ(Ω) = 0 bo`ladi.

Shu bilan monoton {f

n

(x)}

ketma-ketlik deyarli barcha x ∈ A larda

chekli f(x) limitga ega ekanligi kelib chiqadi. Endi f

but

(x) = [f (x)], A

r

=

©

x ∈ A : f

but

(x) = r

ª

= {x ∈ A : r ≤ f (x) < r + 1} , r = 0, 1, . . .

deb ola-

miz. Agar f

but

funksiyaning A to`plamda integrallanuvchi ekanligini ko`rsat-

sak, u holda ϕ(x) = f

but

(x) + 1

funksiya ham A to`plamda integrallanuvchi

bo`ladi va 13.1-teoremadan 13.2-teoremaning tasdig`i kelib chiqadi.

Endi f

but

funksiyaning A to`plamda integrallanuvchi ekanligini ko`rsatamiz.

B

s

=

s

S

r=0

A

r

deymiz. B

s

da f

n

va f funksiyalar chegaralangan va har doim

f

but

(x) ≤ f (x)

bo`lgani uchun 13.1-natijaga ko`ra

Z

B

s

f

but

(x) dµ ≤

Z

B

s

f (x) dµ = lim

n→∞

Z

B

s

f

n

(x) dµ ≤ K .

Ikkinchi tomondan,

Z

B

s

f

but

(x) dµ =

s

X

r=0

rµ(A

r

) ≤ K.

127

Bu yig`indining chegaralanganligi

∞

X

r=0

rµ(A

r

)

qatorning yaqinlashuvchiligini bildiradi. Demak,

Z

A

f

but

(x) dµ =

∞

X

r=0

rµ(A

r

).

Shunday qilib, f

but

ning A da integrallanuvchi ekanligi isbotlandi.

∆

Teoremani monoton o`smaydigan ketma-ketliklar uchun ham isbotlash mum-

kin.

13.2-natija. Agar ψ

n

(x) ≥ 0

bo`lib,

∞

X

n=1

Z

A

ψ

n

(x)dµ < +∞

bo`lsa, u holda A to`plamning deyarli barcha nuqtalarida

∞

X

n=1

ψ

n

(x)

qator yaqinlashadi va qatorni hadlab integrallash mumkin, ya'ni

Z

A

Ã

∞

X

n=1

ψ

n

(x)

!

dµ =

∞

X

n=1

Z

A

ψ

n

(x) dµ

tenglik o`rinli.

13.3-teorema (Fatu). Agar manymas, o`lchovli {f

n

}

funksiyalar ketma

- ketligi A to`plamning deyarli barcha nuqtalarida f funksiyaga yaqinlashsa

va

Z

A

f

n

(x) dµ ≤ K

bo`lsa, u holda f funksiya A to`plamda integrallanuvchi va

Z

A

f (x) dµ ≤ K

tengsizlik o`rinli.

128

Isbot. ϕ

n

(x) = inf

k≥n

f

k

(x)

deb belgilaymiz. ϕ

n

o`lchovli, chunki

{ x : ϕ

n

(x) < c } =

[

k≥n

{x : f

k

(x) < c} .

Bundan tashqari 0 ≤ ϕ

n

(x) ≤ f

n

(x)

bo`lgani uchun ϕ

n

integrallanuvchi va

Z

A

ϕ

n

(x) dµ ≤

Z

A

f

n

(x) dµ ≤ K.

Nihoyat, ϕ

1

(x) ≤ ϕ

2

(x) ≤ · · · ≤ ϕ

n

(x) ≤ · · ·

deyarli barcha x lar uchun

lim

n→∞

ϕ

n

(x) = f (x).

Shuning uchun 13.2-teoremani {ϕ

n

}

ketma-ketlikka qo`llab, 13.3-teoremaning

isbotiga ega bo`lamiz.

∆

Lebeg va Riman integrallari orasidagi quyidagi bog`lanishni isbotlaymiz.

13.4-teorema. Agar [a, b] kesmada

I = (R)

Z

b

a

f (x)dµ

Riman integrali mavjud bo`lsa, u holda f funksiya [a, b] kesmada Lebeg

ma'nosida ham integrallanuvchi bo`ladi va

(L)

Z

[a, b]

f (x)dµ = (R)

Z

b

a

f (x) dx

tenglik o`rinli.

Isbot. [a, b] kesmani

x

k

= a +

k

2

n

(b − a),

k ∈ {0, 1, . . . , 2

n

}

nuqtalar yordamida 2

n

ta bo`lakka bo`lamiz. Bu bo`linishga mos

Ω

n

=

b − a

2

n

2

n

X

k=1

M

nk

,

ω

n

=

b − a

2

n

2

n

X

k=1

m

nk

,

Darbu yig`indilarini qaraymiz, bu yerda M

nk

− f

funksiyaning [x

k−1

, x

k

]

kesmadagi aniq yuqori chegarasi, m

nk

esa shu kesmadagi aniq quyi chegarasi.

Riman integralining ta'riga ko`ra,

I = lim

n→∞

Ω

n

= lim

n→∞

ω

n

129

chekli limit mavjud. Har bir n ∈ N da f

n

va f

n

sodda funksiyalarni quyida-

gicha aniqlaymiz:

f

n

(x) = M

nk

,

agar x ∈ [x

k−1

, x

k

) ,

k ∈ {1, 2, . . . , 2

n

},

f

n

(b) = f (b),

f

n

(x) = m

nk

,

agar x ∈ [x

k−1

, x

k

) ,

k ∈ {1, 2, . . . , 2

n

},

f

n

(b) = f (b).

Sodda funksiya integrali ta'riga ko`ra,

Z

[a,b]

f

n

(x) dµ = Ω

n

,

Z

[a,b]

f

n

(x) dµ = ω

n

tengliklar o`rinli.

©

f

n

ª

ketma-ketlik o`smaydigan ketma-ketlik, ya'ni

f

1

(x) ≥ f

2

(x) ≥ . . . ≥ f

n

(x) ≥ . . .

©

f

n

ª

esa kamaymaydigan ketma-ketlik, ya'ni

f

1

(x) ≤ f

2

(x) ≤ . . . ≤ f

n

(x) ≤ . . .

bo`lgani uchun, deyarli hamma yerda

lim

n→∞

f

n

(x) = f (x) ≥ f (x),

lim

n→∞

f

n

(x) = f (x) ≤ f (x)

chekli limitlar mavjud. 13.2-Levi teoremasiga ko`ra

Z

[a, b]

f (x)dµ = lim

n→∞

Ω

n

= I = lim

n→∞

ω

n

=

Z

[a, b]

f (x)dµ.

Shuning uchun

Z

[a, b]

¯

¯f(x) − f(x)

¯

¯ dµ =

Z

[a, b]

¡

f (x) − f (x)

¢

dµ = 0.

Bundan, deyarli hamma yerda f(x) − f(x) = 0 ekanligi kelib chiqadi, ya'ni

f (x) = f (x) = f (x).

Demak,

Z

[a,b]

f (x)dµ = I.

∆

Bu xossadan foydalanib, Lebeg integralini hisoblash qulaydir.

Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar

130

1.

Parametr α ning qanday qiymatlarida

f

n

(x) =

x

α

x

2

+

1

n

,

x ∈ [0, 1]

ketma-ketlik integral belgisi ostida limitga o`tish haqidagi Lebeg teoremasi

shartlarini qanoatlantiradi.

2.

Quyidagi {g

n

}

ketma-ketlik integral belgisi ostida limitga o`tish haqidagi

Levi teoremasi shartlarini qanoatlantiradimi?

g

n

(x) =

nx

3

2

nx

2

+ 1

,

x ∈ [0, 1].

3.

Fatu teoremasi shartlari bajarilganda

lim

n→∞

Z

A

f

n

(x)dµ =

Z

A

f (x)dµ

tenglik o`rinlimi? O`rinli bo`lmasa, misol keltiring.

4.

13.4-teorema isbotida [a, b] kesma nima sababdan 2

n

ta teng qismga

bo`linganini tushuntiring. Agar [a, b] kesma n ta teng qismga bo`linga-

nida f

n

ketma-ketlik o`smaydigan, f

n

ketma-ketlik esa kamaymaydigan

bo`masligi mumkin edi. Bunga misol keltiring.

5.

[0, 1]

kesmada f(x) = 2

x

funksiya uchun f

n

, f

n

sodda funksiyalarni

quring.

14- §. Cheksiz o`lchovli to`plam bo`yicha olingan Lebeg integrali

Shu paytgacha biz faqat chekli o`lchovli (µ(A) < +∞) to`plamlarda Lebeg

integrali va uning xossalarini o`rgandik. Lekin ko`plab masalalarni yechishda

cheksiz o`lchovli to`plamda berilgan funksiyaning integralini qarashga to`g`ri

keladi. Masalan, R = (−∞, ∞) da berilgan funksiyaning Lebeg integralini

qarashga to`g`ri keladi. Biz sanoqli sondagi chekli o`lchovli X

n

to'plamlar-

ning birlashmasi ko`rinishida tasvirlanishi mumkin bo`lgan hol bilan chega-

ralanamiz.

131

14.1-ta'rif. Agar X to`plamda µ o`lchov berilgan bo`lib, X to`plamni

sanoqli sondagi chekli o`lchovli to'plamlarning birlashmasi ko`rinishida tasvir-

lash mumkin bo`lsa, u holda X da µ o`lchov σ− chekli o`lchov deyiladi.

σ−

chekli o`lchovlarga sonlar o`qidagi va tekislikdagi Lebeg o`lchovlari mi-

sol bo`la oladi.

σ−

chekli bo`lmagan o`lchovga misol sifatida sonlar o`qidagi µ o`lchovni

quyidagicha aniqlaymiz. Har bir nuqtaning o`lchovini bir deb olamiz, ya'ni

µ{x} = 1.

U holda R ning barcha qism to`plamlari o`lchovli bo`ladi. Agar

A ⊂ R

to`plam chekli bo`lsa, uning o`lchovi chekli, qolgan hammasi cheksiz

o`lchovli to`plamlar bo`ladi.

14.2-ta'rif. X to`plamni qoplovchi ketma-ketlik deb, har qanday mono-

ton o`suvchi (X

n

⊂ X

n+1

) {X

n

}

ketma-ketlikka aytiladiki, u quyidagi ikkita

shartni qanoatlantiradi:

1)

∞

[

n=1

X

n

= X,

2) µ(X

n

) < ∞, ∀n ∈ N.

14.3-ta'rif. X to`plamda σ− chekli µ o`lchov va X da aniqlangan man-

ymas f funksiya berilgan bo`lsin. Agar f funksiya ixtiyoriy chekli o`lchovli

A ⊂ X

to`plamda integrallanuvchi bo`lib, biror qoplovchi {X

n

}

ketma-ketlik

uchun

lim

n→∞

Z

X

n

f (x)dµ

limit mavjud bo`lsa, u holda f funksiya X to`plamda integrallanuvchi deyiladi

va bu limit

Z

X

f (x)dµ = lim

n→∞

Z

X

n

f (x)dµ

f

dan X to`plam bo`yicha olingan Lebeg integrali deyiladi.

Endi f ixtiyoriy funksiya bo`lsin. Uni ikkita manymas funksiyalar ayir-

masi shaklida tasvirlaymiz, ya'ni f(x) = f

+

(x) − f

−

(x),

bu yerda

f

+

(x) =