M. H. Shermatov, O. I. Egamberdiyev funksional analiz va integral tenglamalar

1

T

A

2

= ∅

bo`lsin. Agar f

1

:

A

1

→ R

va f

2

: A

2

→ R

funksiyalar o`lchovli bo`lsa, u holda

f (x) =







f

1

(x), agar x ∈ A

1

f

2

(x), agar x ∈ A

2

E

da o`lchovli funksiya bo`lishini isbotlang.

Isbot. Ixtiyoriy c ∈ R da

{x ∈ E : f (x) < c} = {x ∈ A

1

: f

1

(x) < c} ∪ {x ∈ A

2

: f

2

(x) < c}

to`plam o`lchovli. Demak, f funksiya E da o`lchovli.

∆

10.3-misol. Nol o`lchovli A to`plamda aniqlangan ixtiyoriy f : A → R

funksiyaning o`lchovli bo`lishini isbotlang.

Isbot. Lebeg o`lchovi to`la o`lchov (8.4-ta'rif) bo`lganligi uchun o`lchovi

nolga teng bo`lgan to`plamning ixtiyoriy qismi

{x ∈ A : f (x) < c} ⊂ A

o`lchovli, shuning uchun f funksiya A da o`lchovli funksiya bo`ladi.

∆

10.1-teorema. Agar f funksiya E o`lchovli to`plamda aniqlangan bo`lib,

o`lchovli g : E → R funksiyaga ekvivalent bo`lsa, u holda f ham E da

o`lchovli funksiya bo`ladi.

Isbot. Faraz qilaylik, g− o`lchovli va f ∼ g bo`lsin, ya'ni

A = {x : f (x) = g(x)} , E\A = {x : f (x) 6= g(x)} , µ(E\A) = 0.

94

10.2 va 10.3-misollarga ko`ra,

f (x) =







f (x), agar x ∈ E\A

g(x), agar x ∈ A

E

da o`lchovli funksiya bo`ladi.

∆

10.1. Deyarli yaqinlashish.

10.3-ta'rif. Agar E to`plamda aniqlangan {f

n

}

funksiyalar ketma-ket-

ligining f funksiyaga yaqinlashmaydigan nuqtalari to`plamining o`lchovi nol

bo`lsa, u holda {f

n

}

funksiyalar ketma-ketligi E to`plamda f funksiyaga

deyarli yaqinlashadi deyiladi, ya'ni

lim

n→∞

f

n

(x) = f (x)

tenglik E dagi deyarli barcha x lar uchun o`rinli, yoki

A =

n

x : lim

n→∞

f

n

(x) = f (x)

o

, µ(E\A) = 0.

10.4-misol. f

n

(x) = cos

n

x,

E = [0, 2π]

funksiyalar ketma-ketligining

nol funksiyaga deyarli yaqinlashishini isbotlang.

Isbot. Ma'lumki, barcha x ∈ (0, 2π)\ {π} larda |cos x| < 1 tengsizlik

o`rinli hamda cos 0 = cos 2π = 1, cos π = −1 ekanligini hisobga olsak,

quyidagini olamiz

lim

n→∞

f

n

(x) = lim

n→∞

(cos x)

n

=



















0, agar x ∈ (0, 2π)\ {π} ,

mavjud emas x = π,

1, agar x ∈ {0, 2π} .

Agar A =

n

x : lim

n→∞

f

n

(x) = 0

o

= E\ {0; π; 2π}

deb belgilasak, u holda

µ(E\A) = µ ({0; π; 2π}) = 0

bo`ladi. Ta'rifga asosan, f

n

(x) = cos

n

x

funksiyalar ketma-ketligi E = [0, 2π]

to`plamda θ(x) = 0 funksiyaga deyarli yaqinlashadi.

∆

95

10.2-teorema. Agar E to`plamda {f

n

}

o`lchovli funksiyalar ketma-ketligi

f

ga deyarli yaqinlashsa, u holda limitik funksiya f ham o`lchovlidir.

Isbot. A =

n

x : lim

n→∞

f

n

(x) = f (x)

o

bo`lsin. U holda teorema shartiga

ko`ra, µ(E\A) = 0 bo`ladi. A to`plamda {f

n

}

funksiyalar ketma-ketligi

f

ga nuqtali yaqinlashadi. 9.2-teoremaga ko`ra, f funksiya A to`plamda

o`lchovlidir. 10.3-misolga ko`ra nol o`lchovli to`plamda aniqlangan ixtiyoriy

funksiya o`lchovli, shuning uchun f funksiya E\A da o`lchovli bo`ladi. 10.2-

misolga ko`ra, f funksiya birlashma A

S

(E\A) = E

to`plamda ham o`lchov-

lidir.

∆

Ma'lumki, tekis yaqinlashishdan nuqtali yaqinlashish, nuqtali yaqinlashish-

dan esa deyarli yaqinlashish kelib chiqadi. Quyidagi implikatsiyalar o`rinli:

Yegorov teoremasi deyarli yaqinlashish bilan tekis yaqinlashish orasidagi

bog`lanishni ifodalaydi.

10.3-teorema (Yegorov). E chekli o`lchovli to`plamda {f

n

}

funksiyalar

ketma-ketligi f ga deyarli yaqinlashsin. U holda ixtiyoriy δ > 0 uchun shun-

day E

δ

⊂ E

to`plam mavjudki, uning uchun quyidagilar o`rinli:

1) µ(E\E

δ

) < δ,

2) E

δ

to`plamda {f

n

}

funksiyalar ketma-ketligi f ga tekis yaqinlashadi.

Isbot. 10.2-teoremaga ko`ra, f o`lchovli funksiya bo`ladi. Aytaylik,

E

m

n

=

\

i≥n

{x : |f

i

(x) − f (x)| < 1/m}

bo`lsin. E

m

n

to`plamlar barcha n va m uchun o`lchovli bo`ladi. E

m

n

to`plam

tayinlangan n va m da barcha i ≥ n lar uchun |f

i

(x) − f (x)| < 1/m

96

tengsizlikni qanoatlantiruvchi x lar to`plamidan iborat. Endi

E

m

=

∞

[

n=1

E

m

n

bo`lsin. Aniqlanishiga ko`ra E

m

n

to`plamlar har bir m da

E

m

1

⊂ E

m

2

⊂ · · · ⊂ E

m

n

⊂ · · ·

munosabatni qanoatlantiradi. O`lchovning uzluksizlik xossasiga ko`ra,

lim

n→∞

µ(E

m

n

) = µ(E

m

)

yoki har bir m va δ > 0 uchun shunday n

0

(m)

mavjudki,

0 ≤ µ (E

m

) − µ

³

E

m

n

0

(m)

´

= µ

³

E

m

\E

m

n

0

(m)

´

<

δ

2

m

.

(10.1)

Endi

E

δ

=

∞

\

m=1

E

m

n

0

(m)

bo`lsin. Ko`rsatamizki, E

δ

to`plam teorema shartlarini qanoatlantiradi. Dast-

lab E

δ

to`plamda {f

n

}

ketma-ketlikning f ga tekis yaqinlashishini ko`rsatamiz.

Aytaylik, x ∈ E

δ

bo`lsin. U holda ixtiyoriy m uchun barcha i ≥ n

0

(m)

nomerlarda |f

i

(x) − f (x)| < 1/m

tengsizlik bajariladi. Bundan E

δ

to`plamda

{f

n

}

ketma-ketlikning f ga tekis yaqinlashishi kelib chiqadi.

Endi E\E

δ

to`plam o`lchovini baholaymiz. Barcha m lar uchun µ(E\E

m

)

= 0.

Haqiqatan ham, agar x

0

∈ E\E

m

bo`lsa, u holda yetarlicha katta i lar

uchun |f

i

(x

0

) − f (x

0

)| ≥ 1/m

bo`ladi, ya'ni {f

n

(x

0

)}

ketma-ketlik f(x

0

)

ga

yaqinlashmaydi. Demak, E\E

m

⊂ E\A

munosabat o`rinli. Bu yerda

A = {x : lim

n→∞

f

n

(x) = f (x)}.

Bundan, µ(E\E

m

) ≤ µ(E\A) = 0

ga kelamiz. Bu o`z navbatida µ(E\E

m

) =

0

ga olib keladi. Bu yerdan va (10.1) dan kelib chiqadiki,

µ(E\E

m

n

0

(m)

) = µ(E

m

\E

m

n

0

(m)

) <

δ

2

m

97

bo`ladi. Shuning uchun quyidagi tengsizlik o`rinli

µ(E\E

δ

) = µ

Ã

E\

∞

\

m=1

E

m

n

0

(m)

!

=

= µ

Ã

∞

[

m=1

(E\E

m

n

0

(m)

)

!

≤

∞

X

m=1

µ(E\E

m

n

0

(m)

) <

∞

X

m=1

δ

2

m

= δ.

∆

10.2. O`lchov bo`yicha yaqinlashish. Bizga E to`plamda aniqlangan

{f

n

}

o`lchovli funksiyalar ketma-ketligi va f o`lchovli funksiya berilgan bo`lsin.

10.4-ta'rif. Agar ixtiyoriy δ > 0 uchun

lim

n→∞

µ ({x ∈ E : |f

n

(x) − f (x)| ≥ δ}) = 0

tenglik bajarilsa, u holda {f

n

}

funksiyalar ketma-ketligi E to`plamda f funk-

siyaga o`lchov bo`yicha yaqinlashadi deyiladi.

Deyarli yaqinlashishdan o`lchov bo`yicha yaqinlashish kelib chiqadi. Quyida-

gi teorema shu haqda.

10.4-teorema. Agar {f

n

}

o`lchovli funksiyalar ketma-ketligi E (µ(E) <

∞)

to`plamda f funksiyaga deyarli yaqinlashsa, u holda {f

n

}

ketma-ketlik

E

to`plamda f ga o`lchov bo`yicha ham yaqinlashadi.

Isbot. 10.2-teoremaga ko`ra, limitik funksiya f o`lchovli bo`ladi.

A =

n

x : lim

n→∞

f

n

(x) = f (x)

o

bo`lsin. Teorema shartiga ko`ra, µ(E\A) = 0 bo`ladi. Berilgan δ > 0 son

uchun quyidagi belgilashlarni kiritamiz.

E

k

(δ) = {x : |f

k

(x) − f (x)| ≥ δ} ,

R

n

(δ) =

∞

[

k=n

E

k

(δ),

M =

∞

\

n=1

R

n

(δ).

O`lchovli to`plamlarning xossalaridan foydalanib, ko`rsatish mumkinki, yuqori-

da kiritilgan barcha to`plamlar o`lchovli bo`ladi. Ravshanki,

R

1

(δ) ⊃ R

2

(δ) ⊃ · · · R

n

(δ) ⊃ · · · .

98

O`lchovning uzluksizlik xossasidan

lim

n→∞

µ(R

n

(δ)) = µ(M)

(10.2)

tenglik kelib chiqadi. Ko`rsatamizki, M ⊂ E\A bo`ladi. Haqiqatan ham, x

0

∈

A

bo`lsin, ya'ni

lim

n→∞

f

n

(x

0

) = f (x

0

) .

Limit ta'riga ko`ra, berilgan δ > 0 son uchun shunday n mavjudki,

|f

k

(x

0

) − f (x

0

)| < δ

tengsizlik barcha k ≥ n lar uchun o`rinli, ya'ni x

0

/

∈ R

n

(δ),

shunday ekan,

x

0

/

∈ M.

Bundan A ⊂ E\M ⇒ M ⊂ E\A. O`lchovning yarim additivlik

xossasidan

µ(M) ≤ µ(E\A) = 0

=⇒

µ(M ) = 0.

Demak, (10.2) dan lim

n→∞

µ(R

n

(δ)) = 0. E

n

(δ) ⊂ R

n

(δ)

munosabatdan va

o`lchovning yarim additivlik xossasidan

lim

n→∞

µ (E

n

(δ)) = 0

ekanligi kelib chiqadi. Bu esa teoremani isbotlaydi.

∆

O`lchov bo`yicha yaqinlashishdan deyarli yaqinlashish kelib chiqadimi de-

gan savol tug`iladi. Umuman olganda o`lchov bo`yicha yaqinlashishdan deyarli

yaqinlashish kelib chiqmas ekan. Quyidagi misol bu krning to`g`riligini tas-

diqlaydi.

10.5-misol. Har bir k ∈ N uchun E = (0, 1] yarim intervalda f

(k)

1

, f

(k)

2

,

. . . , f

(k)

k

funksiyalarni quyidagicha aniqlaymiz

f

(k)

i

(x) =











1, agar

i − 1

k

< x ≤

i

k

,

0, agar x ∈ (0, 1]\

µ

i − 1

k

,

i

k

¸

.

99

Bu funksiyalarni tartib bilan nomerlab, {g

n

}

( g

1

= f

(1)

1

, g

2

= f

(1)

2

, g

3

=

f

(2)

2

, g

4

= f

(1)

3

, . . .

) ketma-ketlikni hosil qilamiz. {g

n

}

ketma-ketlikning E

da nol funksiyaga o`lchov bo`yicha yaqinlashishini va biror nuqtada ham nolga

yaqinlashmasligini isbotlang.

Isbot. Har bir n ∈ N uchun shunday k va i sonlar jufti topiladiki,

f

(k)

i

(x) = g

n

(x)

tenglik bajariladi va n cheksizga intilishi bilan k ham chek-

sizga intiladi. Ixtiyoriy δ > 0 uchun

µ ({ x : |g

n

(x) | ≥ δ }) =

= µ

³n

x : f

(k)

i

(x) ≥ δ

o´

≤ µ

µµ

i − 1

k

,

1

k

¸¶

=

1

k

tengsizlik o`rinli. Bu yerdan lim

n→∞

µ(E(|g

n

| ≥ δ)) = 0

ni olamiz. Demak,

10.4-ta'rifga ko`ra, {g

n

}

ketma-ketlik E da nol funksiyaga o`lchov bo`yicha

yaqinlashadi. Endi {g

n

}

ketma-ketlikni E da nol funksiyaga deyarli yaqin-

lashmasligini ko`rsatamiz. Ixtiyoriy x

0

∈ (0, 1]

nuqtani olamiz. Shunday k

n

va i

n

(k

1

< k

2

< · · · < k

n

< · · · )

sonlar jufti topiladiki,

x

0

∈

µ

i

n

− 1

k

n

,

i

n

k

n

¸

bo`ladi. Bu yerdan quyidagini olamiz:

lim

n→∞

f

(k

n

)

i

n

(x

0

) = 1 6= 0.

Ya'ni, {g

n

}

ketma-ketlik biror nuqtada ham nolga yaqinlashmaydi.

∆

10.5-teorema. Agar {f

n

}

o`lchovli funksiyalar ketma-ketligi E to`plamda

f

ga o`lchov bo`yicha yaqinlashsa, u holda undan f ga deyarli yaqinlashuvchi

qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin.

Isbot. Biz musbat va nolga intiluvchi ε

1

, ε

2

, . . . , ε

n

, . . .

ketma-ketlikni va

η

1

, η

2

, . . . , η

n

, . . .

musbat sonlarni η

1

+ η

2

+ . . . + η

n

+ . . .

qator yaqinlashuv-

chi bo`ladigan qilib tanlaymiz. Indekslar ketma-ketligi n

1

< n

2

< . . .

larni

100

quyidagicha tanlaymiz: n

1

indeksni shunday tanlaymizki,

µ ({x : |f

n

1

(x) − f (x)| ≥ ε

1

}) < η

1

tengsizlik bajarilsin. Bu tengsizlikni qanoatlantiruvchi n

1

mavjudligi {f

n

}

ketma-ketlikning f ga o`lchov bo`yicha yaqinlashuvchi ekanligidan kelib chiqa-

di. Endi n

2

> n

1

indeks shunday tanlanadiki,

µ ({x : |f

n

2

(x) − f (x)| ≥ ε

2

}) < η

2

tengsizlik bajarilsin. Umuman n

k

> n

k−1

indeks shunday tanlanadiki,

µ ({x : |f

n

k

(x) − f (x)| ≥ ε

k

}) < η

k

tengsizlik bajarilsin. Tanlangan {f

n

k

}

ketma-ketlikning f ga deyarli yaqin-

lashuvchi ekanligini ko`rsatamiz. Quyidagi belgilashlarni kiritamiz:

R

i

=

∞

[

k=i

{x : | f

n

k

(x) − f (x)| ≥ ε

k

} va R =

∞

\

i=1

R

i

.

Tanlanishiga ko`ra, R

1

⊃ R

2

⊃ . . . ⊃ R

n

⊃ . . . .

O`lchovning uzluksizlik

xossasiga ko`ra, lim

n→∞

µ(R

n

) = µ(R).