M. H. Shermatov, O. I. Egamberdiyev funksional analiz va integral tenglamalar

⊂ A

bo`lishidan A

0

ning o`lchovli ekan-

ligi kelib chiqsa, µ o`lchov to`la deyiladi.

Ta'rifda keltirilgan A

0

to`plam uchun µ(A

0

) = 0

bo`ladi.

Qiyinchiliksiz isbotlash mumkinki, ixtiyoriy o`lchovning Lebeg davomi to`la

bo`ladi. Haqiqatan ham, A

0

⊂ A, µ(A) = µ

∗

(A) = 0

bo`lsa, µ(A

0

) = 0

bo`ladi va ∅ ∈ S

m

ni olsak, µ

∗

(A

0

∆∅) = µ

∗

(A

0

) = 0

bo'ladi, ya'ni A

0

to`plamning o`lchovli ekanligi kelib chiqadi.

Umuman olganda σ− algebrada aniqlangan har qanday σ− additiv o`l-

chovni to`la o`lchovgacha davom ettirish mumkin. Buning uchun nol o`lchovli

to`plamning ixtiyoriy qismiga nolni mos qo`yish kifoya qiladi.

Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar

1. X = [0, 1]\Q bo`lsin. S

m

orqali X ning [a, b) yarim intervallar bilan

kesishmalaridan hosil bo`lgan to`plamlar sistemasini belgilaymiz. Bu sistema-

ning yarim halqa ekanligini ko`rsating.

2. 1-topshiriqda aniqlangan S

m

yarim halqaning har bir A

ab

= X ∩ [a, b)

to`plamiga m(A

ab

) = b−a

sonni mos qo`yamiz. Bu to`plam funksiyasi o`lchov

bo`lishini ko`rsating.

3. 2-topshiriqda aniqlangan m : S

m

→ R

o`lchovning Lebeg bo`yicha davo-

mini toping. Uni sonlar o`qidagi Lebeg o`lchovi bilan ustma-ust tushishini

ko`rsating.

85

III bob. O`lchovli funksiyalar

Bu bob ikki paragrafdan iborat. Dastlabki 9-paragraf o`lchovli funksiyalar

xossalarini tekshirishga bag`ishlangan. O`lchovli funksiyalar Lebeg integrali

tushunchasini kiritishda asosiy manba hisoblanadi. Bu yerda o`lchovli funksiya-

lar ta'rianib, ularning asosiy xossalari isbotlangan. Jumladan, o`lchovli funk-

siyalar to`plamining arifmetik amallarga nisbatan yopiqligi (9.1-teorema) ko`r-

satilgan. Yana, agar {f

n

}

o`lchovli funksiyalar ketma-ketligi har bir x ∈ E

nuqtada f(x) ga yaqinlashsa, u holda limitik funksiya f ning o`lchovli bo`lishi

(9.2-teorema) isbotlangan.

Bobning oxirgi, 10-paragrada ekvivalent funksiyalarga ta'rif berilib, ularga

misollar keltirilgan. Ekvivalent funksiyalarning biri o`lchovli bo`lsa, ikkinchisi

ham o`lchovli bo`lishi isbotlangan. Bundan tashqari o`lchovli funksiyalar ketma-

ketliklarining nuqtali, deyarli va o`lchov bo`yicha yaqinlashishlari ta'rianib,

ular orasidagi bog`lanishlar yoritilgan. Ma'lumki, tekis yaqinlashishdan nuq-

tali yaqinlashish, nuqtali yaqinlashishdan esa deyarli yaqinlashish kelib chiqa-

di. Deyarli yaqinlashishdan o`lchov bo`yicha yaqinlashish kelib chiqishi isbot-

langan. O`lchov bo`yicha yaqinlashishdan deyarli yaqinlashish kelib chiqadi-

mi degan savolga ijobiy javob yo`q ekan. O`lchov bo`yicha nol funksiyaga

yaqinlashuvchi, lekin nolga biror nuqtada ham yaqinlasmaydigan funksiyalar

ketma-ketligiga misol (10.5-misol) keltirilgan. Ammo o`lchov bo`yicha yaqin-

lashuvchi ketma-ketlikdan deyarli yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish

mumkinligi (10.5-teorema) ko`rsatilgan. Tekis yaqinlashish va deyarli yaqin-

lashish orasidagi bog`lanishni ifodalovchi Yegorov teoremasi (10.3-teorema) is-

botlangan. O`lchovli funksiyaning uzluksiz funksiyaga qaysidir ma'noda yaqin

bo`lishi haqidagi Luzin teoremasi (10.6-teorema), ya'ni funksiya o`lchovli bo`li-

shining kriteriysi keltirilgan.

86

9- §. O`lchovli funksiyalar va ular ustida amallar

Bu paragrafda uzluksiz funksiyaga qaysidir ma'noda yaqin bo`lgan (Luzin

teoremasiga qarang) o`lchovli funksiya tushunchasiga ta'rif beramiz. O`lchovli

funksiyalar Lebeg integrali tushunchasini kiritishda asosiy manba hisoblanadi.

Bizga E ⊂ R(E ⊂ R

2

)

Lebeg ma'nosida o`lchovli to`plam va unda aniqlan-

gan haqiqiy qiymatli f funksiya berilgan bo`lsin.

9.1-ta'rif. Agar ixtiyoriy c ∈ R uchun {x ∈ E : f(x) < c} := E(f < c)

to`plam o`lchovli bo`lsa, f funksiya E to`plamda o`lchovli deyiladi.

9.1-misol. f : E → R,

f (x) = a = const

funksiyaning o`lchovli ekan-

ligini ko`rsating.

Yechish. Ixtiyoriy c ∈ R uchun

E(f < c) = {x ∈ E : f (x) < c} =







E,

agar

c > a,

∅,

agar

c ≤ a

tenglik o`rinli. E va ∅ to`plamlar o`lchovli. Demak, ixtiyoriy c ∈ R uchun

E(f < c)

to`plam o`lchovli ekan. Ta'rifga ko`ra, f(x) = a funksiya E da

o`lchovli funksiya bo`ladi.

9.1-teorema. Agar f va g funksiyalar E to`plamda o`lchovli bo`lsa, u

holda ularning yig`indisi f + g, ayirmasi f − g va ko`paytmasi f · g o`lchovli

bo`ladi. Agar barcha x ∈ E lar uchun g(x) 6= 0 bo`lsa, u holda f/g funksiya

ham E da o`lchovli bo`ladi.

Teoremani isbotlashda quyidagi lemmalardan foydalanamiz.

9.1-lemma. Agar f funksiya E to`plamda o`lchovli bo`lsa, u holda ixti-

yoriy a, b ∈ R lar uchun quyidagi to`plamlarning har biri o`lchovli bo`ladi:

1) E(f ≥ a); 2) E(a ≤ f < b); 3) E(f = a); 4) E(f ≤ a); 5) E(f > a).

Isbot. Faraz qilaylik, f o`lchovli funksiya bo`lsin, u holda ta'rifga ko`ra,

ixtiyoriy a ∈ R uchun E(f < a) to`plam o`lchovli bo`ladi.

87

1) E(f ≥ a) = E\E(f < a) tenglikdan, hamda o`lchovli to`plamning

to`ldiruvchisi o`lchovli ekanligidan E(f ≥ a) to`plamning o`lchovli ekanligi

kelib chiqadi.

2) E(a ≤ f < b) = E(f ≥ a)

T

E(f < b)

tenglikdan, hamda o`lchovli

to`plamlar kesishmasi o`lchovli ekanligidan E(a ≤ f < b) to`plamning o`lchovli

ekanligi kelib chiqadi.

3) E(f = a) to`plamning o`lchovli ekanligini ko`rsatamiz:

E(f = a) =

∞

\

n=1

E

µ

a ≤ f < a +

1

n

¶

.

Bu yerda E

µ

a ≤ f < a +

1

n

¶

to`plam 2) ko`rinishdagi to`plam bo`lgani uchun

u - o`lchovli. O`lchovli to`plamlarning sanoqli sondagi kesishmasi (6.7-teorema)

o`lchovli bo`lganligi uchun E(f = a) to`plam o`lchovli bo`ladi.

4) E(f ≤ a) to`plamning o`lchovli ekanligi ta'rifdan, 3) dan hamda E(f ≤

a) = E(f < a)

S

E(f = a)

tenglikdan kelib chiqadi.

5) E(f > a) = E\E(f ≤ a) tenglikdan hamda to`ldiruvchi to`plamning

o`lchovliligi (6.4-teorema) dan kelib chiqadi.

∆

9.2-lemma. Agar ixtiyoriy a, b ∈ R lar uchun 9.1-lemmadagi 1), 2), 4),

5) ko`rinishdagi to`plamlarning birortasi o`lchovli bo`lsa, u holda f funksiya

E

to`plamda o`lchovli bo`ladi.

Isbot. Biz faqat 1) ko`rinishdagi to`plamning o`lchovli ekanligidan f ning

o`lchovli ekanligini keltirib chiqaramiz. Qolgan tasdiqlarning isbotini o`quvchi-

ga mustaqil isbotlashni tavsiya qilamiz. Faraz qilaylik, E(f ≥ a) to`plam ix-

tiyoriy a ∈ R uchun o`lchovli bo`lsin. U holda uning to`ldiruvchi to`plami

E(f < a)

ham o`lchovli bo`ladi. 9.1-ta'rifga asosan f o`lchovli funksiya

bo`ladi.

∆

9.3-lemma. Agar f va g lar E da o`lchovli funksiyalar bo`lsa, u holda

{x ∈ E : f (x) > g(x)} = E(f > g)

to`plam o`lchovli bo`ladi.

88

Isbot. Ratsional sonlar to`plami Q sanoqli bo`lganligi uchun uning ele-

mentlarini nomerlab chiqamiz, ya'ni Q = {r

1

, r

2

, . . . , r

k

, . . .}

va quyidagi

tenglikni isbotlaymiz:

E(f > g) := { x ∈ E : f (x) > g(x)} =

=

∞

[

k=1

³

{ x : f (x) > r

k

}

\

{ x : g(x) < r

k

}

´

.

(9.1)

Faraz qilaylik, x

0

∈ {x ∈ E : f (x) > g(x)}

ya'ni f(x

0

) > g(x

0

)

bo`lsin, u

holda ratsional sonlarning zichlik xossasiga ko`ra shunday r

k

∈ Q

mavjudki,

f (x

0

) > r

k

> g(x

0

)

munosabat o`rinli bo`ladi. Demak,

x

0

∈ {x : f (x) > r

k

}

\

{x : g(x) < r

k

} .

Bundan

x

0

∈

∞

[

k=1

³

{ x : f (x) > r

k

}

\

{ x : g(x) < r

k

}

´

:= A

ekanligi, bundan esa E(f > g) ⊂ A kelib chiqadi. Endi teskari A ⊂ E(f > g)

munosabatni ko`rsatamiz. Faraz qilaylik,

x

0

∈

∞

[

k=1

³

{ x : f (x) > r

k

}

\

{ x : g(x) < r

k

}

´

ixtiyoriy nuqta bo`lsin, u holda x

0

birlashmadagi to`plamlarning hech bo`l-

maganda bittasiga tegishli bo`ladi, ya'ni shunday k ∈ N mavjudki, x

0

∈

{x : f (x) > r

k

}

T

{x : g(x) < r

k

}

. Demak, bir vaqtda f(x

0

) > r

k

va g(x

0

) <

r

k

bo`ladi. Bundan f(x

0

) > g(x

0

)

ekanligi, ya'ni x

0

∈ {x ∈ E : f (x) > g(x)}

ekanligi kelib chiqadi. Bundan A ⊂ E(f > g) ni olamiz.

Biz (9.1) tenglikni isbotladik. 9.3-lemmaning isboti (9.1) tenglikdan, ham-

da o`lchovli to`plamlarning sanoqli birlashmasi (6.7-teorema) yana o`lchovli

ekanligidan kelib chiqadi.

∆

9.1-teoremaning isboti. Teoremani bir necha qismlarga ajratib isbot-

laymiz.

89

1) agar f− o`lchovli funksiya bo`lsa, u holda ixtiyoriy k ∈ R uchun

k · f

va f + k funksiyalar ham o`lchovli bo`ladi. Haqiqatan ham, ( k 6= 0

deb hisoblaymiz k = 0 bo`lganda k · f ning o`lchovli bo`lishi 9.1-misolda

ko`rsatildi)

{x ∈ E : kf (x) < c} =







E(f < c/k), agar k > 0,

E(f > c/k), agar k < 0.

(9.2)

(9.2) tenglikning o`ng tomonidagi to`plamlarning har biri o`lchovli bo`lgani

uchun k · f funksiya o`lchovli bo`ladi. f + k funksiyaning o`lchovliligi

{x ∈ E : f (x) + k < c} = {x ∈ E : f (x) < c − k}

tenglikdan kelib chiqadi.

2) Agar f va g lar E da o`lchovli funksiyalar bo`lsa, u holda 9.3-lemmaga

ko`ra

{x ∈ E : f (x) + g(x) > c} = {x ∈ E : f (x) > c − g(x)}

to`plam ixtiyoriy c ∈ R da o`lchovli bo`ladi. Demak, 9.2-lemmaga ko`ra f + g

o`lchovli funksiya bo`ladi.

3) 1) va 2) dan kelib chiqadiki, f + (−1)g o`lchovli funksiya bo`ladi.

4) Agar f o`lchovli bo`lsa, u holda |f| va f

2

lar ham o`lchovli funksiyalar

bo`ladi. Haqiqatan ham,

E(|f | > c) =







E,

agar c < 0

E(f < −c)

S

E(f > c), agar c ≥ 0.

(9.3)

(9.3) tenglikning o`ng tomonidagi to`plamlar ixtiyoriy c ∈ R da o`lchovli

bo`lganligi uchun |f| o`lchovli funksiya bo`ladi.

E(f

2

> c) =







E,

agar c < 0

E(|f | >

√

c), agar c ≥ 0.

(9.4)

90

|f |

funksiyaning o`lchovli ekanligidan, (9.4) tenglikning o`ng tomonidagi to`p-

lamlarning ixtiyoriy c ∈ R da o`lchovli ekanligi kelib chiqadi. Demak, f

2

o`lchovli funksiya bo`ladi.

5) O`lchovli funksiyalarning ko`paytmasi o`lchovli ekanligi quyidagi

f · g =

1

4

£

(f + g)

2

− (f − g)

2

¤

ayniyatdan, hamda 1), 2), 3) va 4) xossalardan kelib chiqadi.

6) Agar g o`lchovli bo`lib, g(x) 6= 0, ∀x ∈ E bo`lsa, u holda

1

g

ning

o`lchovli bo`lishi

E

µ

1

g

< c

¶

=























E(g < 0)

S

E(g >

1

c

), agar c > 0

E

µ

1

c

< g < 0

¶

, agar c < 0,

E(g < 0), agar c = 0

tenglikdan kelib chiqadi. Demak,

1

g

−

o`lchovli funksiya. 5-xossaga ko`ra,

f (x) ·

1

g(x)

funksiya ham o`lchovli bo`ladi, bunda g(x) 6= 0.

∆

Shunday qilib, biz o`lchovli funksiyalar to`plamining arifmetik amallarga

nisbatan yopiqligini ko`rsatdik.

Analizdan ma'lum bo`lgan tekis va nuqtali yaqinlashish ta'riarini kelti-

ramiz. E o`lchovli to`plamda f funksiya va {f

n

}

o`lchovli funksiyalar ketma-

ketligi berilgan bo`lsin.

9.2-ta'rif. Agar ixtiyoriy ε > 0 uchun shunday n

0

> 0

mavjud bo`lib,

barcha n > n

0

va x ∈ E larda |f

n

(x) − f (x)| < ε

bo`lsa, u holda {f

n

}

funk-

siyalar ketma-ketligi E to`plamda f funksiyaga tekis yaqinlashadi deyiladi.

9.3-ta'rif. Agar har bir x ∈ E da lim

n→∞

f

n

(x) = f (x)

bo`lsa, u holda {f

n

}

funksiyalar ketma-ketligi f ga nuqtali yaqinlashadi deyiladi.

Quyidagi teorema o`lchovli funksiyalar to`plamining limitga o`tish (nuqtali

yaqinlashish) amaliga nisbatan ham yopiqligini ifodalaydi.

91

9.2-teorema. Agar {f

n

}

o`lchovli funksiyalar ketma-ketligi har bir x ∈ E

da f(x) ga yaqinlashsa, u holda limitik funksiya f o`lchovli bo`ladi.

Isbot. Shartga ko`ra, ixtiyoriy x ∈ E uchun lim

n→∞

f

n

(x) = f (x)

o`rinli.

E(f < c) = {x : f (x) < c} =

∞

[

k=1

∞

[

n=1

∞

\

m>n

½

x : f

m

(x) < c −

1

k

¾

(9.5)

tenglik [2] da isbotlangan. Teoremaning isboti (9.5) tenglikdan kelib chiqadi,

chunki, sanoqli sondagi o`lchovli to`plamlarning birlashmasi va kesishmasi (6.7-

teoremaga qarang) yana o`lchovli to`plamdir.

∆

Bu paragrafni quyidagi misol bilan yakunlaymiz.

9.2-misol. Agar f : E → R o`lchovli funksiya bo`lsa, u holda f funksiya

E

ning ixtiyoriy o`lchovli A qismida ham o`lchovli funksiya bo`lishini ko`rsating.

Yechish. Haqiqatan ham, ixtiyoriy c ∈ R uchun

{x ∈ A : f (x) < c} = E(f < c) ∩ A

tenglik o`rinli. E(f < c) va A to`plamlar o`lchovli bo`lganligi uchun ular-

ning kesishmasi bo`lgan {x ∈ A : f(x) < c} to`plam ham o`lchovli bo`ladi.

9.1-ta'rifga ko`ra, f funksiya A da o`lchovli bo`ladi.

Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar

1.

O`lchovli bo`lmagan funksiyaga misol keltiring.

2.

O`lchovli bo`lmagan, lekin moduli o`lchovli bo`lgan funksiyaga misol kelti-

ring.

3.

(9.5) tenglikni isbotlang.

4.

9.1-lemmada keltirilgan 2), 4) va 5) ko`rinishdagi to`plamlarning o`lchovli

ekanligidan f ning o`lchovli ekanligini keltirib chiqaring.

5.

Shunday f va g funksiyalarga misol keltiringki, ularning yig`indisi

o`lchovli bo`lsin, lekin ayirmasi o`lchovli bo`lmasin.

92

6.

Shunday f va g funksiyalarga misol keltiringki, ularning ko`paytmasi

o`lchovli bo`lsin, lekin yig`indisi o`lchovli bo`lmasin.

7.

Dirixle funksiyasi D ning [0, 3] to`plamda o`lchovli ekanligini ta'rif

yordamida ko`rsating. D funksiya (2.1) tenglik bilan aniqlanadi.

8.

Agar f funksiya E to`plamda o`lchovli bo`lsa, u holda h(x) = [f(x)]

ning o`lchovli ekanligini isbotlang. Bu yerda [x] bilan x ning butun qismi

belgilangan.

10- §. O`lchovli funksiyalar ketma-ketliklarining yaqinlashishlari

Bu paragrafda biz ekvivalent funksiyalar, ularning ayrim xossalari va o`l-

chovli funksiyalar ketma-ketliklarining turli yaqinlashishlari orasidagi bog`la-

nishlarni o`rganamiz.

10.1-ta'rif. E o`lchovli to`plamda aniqlangan f va g funksiyalar uchun

µ ({x ∈ E : f (x) 6= g(x)}) = 0

bo`lsa, f va g lar ekvivalent funksiyalar de-

yiladi va f ∼ g shaklda belgilanadi.

10.1-misol. Dirixle funksiyasi D ((2.1) ga qarang), Riman funksiyasi R

((2.2) ga qarang) nol funksiya θ(x) = 0 hamda bir I(x) = 1 funksiyalar

orasidan o`zaro ekvivalent funksiyalarni toping.

Yechish. Ma'lumki, Q sanoqli to`plam, shuning uchun µ(Q) = 0 . Lebeg

o`lchovi to`la o`lchov (8.4-ta'rif), shunday ekan, ixtiyoriy A ⊂ Q uchun µ(A) =

0.

Endi bu funksiyalarni ekvivalentlikka tekshiramiz:

{x : D(x) 6= θ(x)} = Q,

{x : R(x) 6= θ(x)} = Q,

{x : D(x) 6= R(x)} ⊂ Q,

{x : D(x) 6= I(x)} = R\Q.

Bu yerdan quyidagi tengliklarni hosil qilamiz:

µ ({x : D(x) 6= θ(x)}) = µ ({x : R(x) 6= θ(x)}) = µ ({Q}) = 0,

93

µ ({x : D(x) 6= R(x)}) = 0, µ ({x : D(x) 6= I(x)}) = µ ({R\Q}) 6= 0.

Demak, D ∼ θ, D ∼ R, R ∼ θ bo`ladi. I bilan D ekvivalent emas.

10.2-ta'rif. Agar biror xossa E to`plamning nol o`lchovli qism to`plamidan

boshqa barcha nuqtalarida bajarilsa, bu xossa E to`plamda deyarli bajariladi

deyiladi.

Agar ikkita funksiya deyarli teng bo`lsa, ular ekvivalentdir.

10.2-misol. Aytaylik, E = A

1

S

A

2

va A