M. H. Shermatov, O. I. Egamberdiyev funksional analiz va integral tenglamalar

1) µ funksiyaning aniqlanish sohasi S

µ

yarim halqa bo`lsa;

2) µ funksiyaning qiymatlar sohasi haqiqiy va manymas bo`lsa;

3) µ additiv bo`lsa, ya'ni ixtiyoriy A ∈ S

µ

to`plamning o`zaro kesish-

maydigan A

1

, A

2

, A

3

, . . . , A

n

∈ S

µ

to`plamlar bo`yicha

A =

n

[

k=1

A

k

chekli yoyilmasi uchun

µ(A) =

n

X

k=1

µ(A

k

)

tenglik o`rinli bo`lsa, µ : S

µ

→ R

ga o`lchov deyiladi.

Eslatma. ∅ = ∅ ∪ ∅ yoyilmadan µ(∅) = 2µ(∅), ya'ni µ(∅) = 0 tenglik

kelib chiqadi.

7.1. O`lchovni yarim halqadan undan hosil bo`lgan minimal halqa-

ga davom ettirish. Tekislikdagi to`plamlar Lebeg o`lchovini aniqlash uchun

70

dastlabki qadam, bu o`lchovni to`g`ri to`rtburchaklar sistemasi (yarim halqa)

dan elementar to`plamlar sistemasi (undan hosil qilingan minimal halqa) ga

davom ettirish bo`ldi. Hozir biz bu konstruksiyaga o`xshash abstrakt konstruk-

siyani qaraymiz.

7.2-ta'rif. Agar m o`lchovning aniqlanish sohasi S

m

ikkinchi µ o`lchov-

ning aniqlanish sohasi S

µ

da saqlansa ( S

m

⊂ S

µ

) va ixtiyoriy A ∈ S

m

to`plam uchun

µ(A) = m(A)

tenglik o`rinli bo`lsa, u holda µ o`lchov m o`lchovning davomi deyiladi.

7.1-teorema. Aniqlanish sohasi S

m

yarim halqa bo`lgan har bir m o`lchov

uchun aniqlanish sohasi M(S

m

)

( S

m

ni o`zida saqlovchi minimal halqa)

bo`lgan yagona m

0

davom mavjud.

Isbot. Har bir A ∈ M(S

m

)

to`plam uchun

A =

n

[

k=1

B

k

,

B

k

∈ S

m

, B

k

∩ B

l

= ∅, k 6= l.

(7.1)

ko`rinishdagi yoyilma mavjud. U holda A ga

m

0

(A) =

n

X

k=1

m(B

k

)

(7.2)

sonni mos qo`yuvchi va M(S

m

)

da aniqlangan m

0

to`plam funksiyasi o`lchov

bo`ladi. Haqiqatan ham, (7.2) tenglik bilan aniqlangan m

0

(A)

miqdor (7.1)

yoyilmaning tanlanishiga bog`liq emas, chunki ixtiyoriy ikkita

A =

n

[

i=1

B

i

=

r

[

j=1

C

j

,

B

i

∈ S

m

, C

j

∈ S

m

yoyilmalarni qarasak, B

i

∩ C

j

kesishmalar S

m

ga tegishli bo`lganligi uchun

m

o`lchovning additivligidan foydalanib,

n

X

i=1

m(B

i

) =

n

X

i=1

r

X

j=1

m(B

i

∩ C

j

) =

r

X

j=1

m(C

j

)

71

tengliklarga ega bo`lamiz.

Ravshanki, (7.2) tenglik bilan aniqlangan m

0

(A)

funksiya manymas va

additiv bo`ladi. Shunday qilib, m o`lchovning M(S

m

)

ga davomi m

0

ning

mavjudligi isbotlandi.

Endi bu o`lchovning yagonaligini isbotlaymiz. Ixtiyoriy A ∈ M(S

m

)

to`p-

lamni va uning biror

A =

n

[

k=1

B

k

,

B

k

∩ B

l

= ∅, k 6= l, B

k

∈ S

m

yoyilmasini olaylik. U holda m o`lchovning M(S

m

)

da aniqlangan ixtiyoriy

e

m

davomi uchun

e

m(A) =

n

X

k=1

e

m(B

k

) =

n

X

k=1

m(B

k

) = m

0

(A)

tenglikni olamiz, ya'ni e

m

o`lchov m

0

o`lchov bilan ustma-ust tushadi.

∆

O`lchovning manymaslik va additivlik xossalaridan quyidagi muhim xos-

salar kelib chiqadi.

7.2-teorema. Biror S

m

halqada aniqlangan m o`lchov va S

m

ga tegishli

A, A

1

, A

2

, . . . , A

n

to`plamlar berilgan bo`lsin. U holda:

I. Agar

n

S

k=1

A

k

⊂ A

va A

k

T

A

l

= ∅,

k 6= l

bo`lsa, quyidagi tengsizlik

bajariladi

n

X

k=1

m(A

k

) ≤ m(A).

II. Agar

n

S

k=1

A

k

⊃ A

bo`lsa, quyidagi tengsizlik bajariladi

n

X

k=1

m(A

k

) ≥ m(A).

Xususan, agar A, B ∈ S

m

va A ⊂ B bo`lsa, m(A) ≤ m(B) bo`ladi.

Isbot. S

m

ga tegishli va o`zaro kesishmaydigan A

1

, A

2

, . . . , A

n

to`plam-

lar berilgan bo`lib, ularning barchasi A ∈ S

m

to`plamda saqlansin. U holda

72

m

o`lchovning additivligiga ko`ra

m(A) =

n

X

k=1

m(A

k

) + m

Ã

A\

n

[

k=1

A

k

!

.

Bundan, m(A\

n

S

k=1

A

k

) ≥ 0

bo`lganligi uchun I - xossaning isbotiga ega

bo`lamiz.

Endi ixtiyoriy A

1

, A

2

∈ S

m

to`plamlar uchun

m(A

1

∪ A

2

) = m(A

1

) + m(A

2

) − m(A

1

∩ A

2

) ≤ m(A

1

) + m(A

2

)

tenglik o`rinli ekanligidan foydalansak, bu yerdan chekli induktiv qadamdan

so`ng

m

Ã

n

[

k=1

A

k

!

≤

n

X

k=1

m(A

k

)

(7.3)

tengsizlikni olamiz. Nihoyat, o`lchovning additivlik xossasiga ko`ra

m(A) = m

Ã

n

[

k=1

A

k

!

− m

Ã

n

[

k=1

A

k

\A

!

≤ m

Ã

n

[

k=1

A

k

!

yoki (7.3) tengsizlikka ko`ra

m(A) ≤

n

X

k=1

m(A

k

).

∆

Hozir biz halqada aniqlangan o`lchovlar uchun I va II xossalarni isbotladik.

Agar yarim halqada aniqlangan o`lchovni qarasak, uning halqadagi davomi

uchun I va II xossalar o`rinli bo`lganligidan, bu davomning yarim halqadagi

qismi uchun ham I va II xossalar o`rinli bo`lib qoladi.

7.3-ta'rif. Agar S

m

sistemada aniqlangan m o`lchov va ixtiyoriy o`zaro

kesishmaydigan sanoqlita A

1

, A

2

, . . . , A

n

, . . . ∈ S

m

to`plamlar uchun

∞

S

k=1

A

k

= A ∈ S

m

bo`lganda quyidagi tenglik o`rinli bo`lsa

m(A) =

∞

X

k=1

m(A

k

),

73

u holda m o`lchov sanoqli additiv yoki σ− additiv o`lchov deyiladi.

6-Ÿ da tekislikdagi to`plamlar uchun kiritilgan m o`lchov σ− additiv (6.8-

teorema) o`lchovga misol bo`ladi. Boshqacha tabiatli σ− additiv o`lchovga

misol keltiramiz.

7.1-misol. Bizga ixtiyoriy sanoqli X = {x

1

, x

2

, . . . , x

n

, . . .}

to`plam beril-

gan bo`lsin. p

n

> 0

sonlarni shunday tanlaymizki,

∞

X

n=1

p

n

= 1

bo`lsin. Har bir A ⊂ X to`plamga

m(A) =

X

x

n

∈A

p

n

(7.4)

sonni mos qo`yamiz. Aniqlanishiga ko`ra, m(A) to`plam funksiyasi o`lchov

bo`ladi va X ning barcha qism to`plamlari o`lchovli bo`ladi. Bundan tashqari,

m(X) = 1.

Endi X ning o`zaro kesishmaydigan sanoqlita ixtiyoriy A

1

, . . . , A

n

, . . .

qism

to`plamlarini olaylik va

∞

S

k=1

A

k

= A

bo`lsin. Aniqlanishiga ko`ra, m(A)

uchun (7.4) tenglik o`rinli va tenglik o`ng tomonidagi qator absolyut yaqin-

lashuvchi bo`lgani uchun

m(A) =

X

x

k

∈A

p

k

=

∞

X

n=1

X

x

k

∈A

n

p

k

=

∞

X

n=1

m(A

n

)

tengliklar o`rinli, ya'ni m o`lchov σ− additiv bo`ladi.

Endi additiv bo`lib, ammo σ− additiv bo`lmagan o`lchovga misol qaraymiz.

7.2-misol. [0, 1] kesmadagi barcha ratsional sonlar to`plamini X bilan

belgilaymiz. S

m

orqali X ning (a, b) interval, [a, b] kesma va [a, b), (a, b]

yarim intervallar bilan kesishmalaridan iborat to`plamlar sistemasini belgi-

laymiz. Ko`rsatish mumkinki, S

m

yarim halqa bo`ladi. Agar

A

ab

= X

\

(a, b)

³\

[a, b],

\

(a, b],

\

[a, b)

´

74

desak, har bir A

ab

to`plamga

m(A

ab

) = b − a

sonni mos qo`yish mumkin. Bu to`plam funksiyasi m additiv o`lchov bo`ladi,

ammo σ− additiv bo`lmaydi. Chunki [0, 1] kesmadagi barcha ratsional son-

lar to`plami sanoqli, ya'ni X = {r

1

, r

2

, . . . , r

n

, . . .}

tenglik o`rinli. Birinchi-

dan A

01

= X

T

[0, 1]

to`plam uchun m(A

01

) = 1

bo`ladi, ikkinchi tomondan

A

01

=

∞

S

n=1

A

n

o`zaro kesishmaydigan sanoqlita nol o`lchovli A

n

= X

T

[r

n

, r

n

]

to`plamlarning yig`indisidan iborat bo`ladi, ya'ni

m(A

01

) = 1 6=

∞

X

n=1

m(A

n

) = 0.

7 va 8-Ÿ larda qaralayorgan o`lchovlarni σ− additiv o`lchovlar deb hisob-

laymiz.

7.3-teorema. Agar S

m

yarim halqada aniqlangan m o`lchov σ− addi-

tiv bo`lsa, u holda bu o`lchovning M(S

m

) (S

m

ni o`zida saqlovchi minimal

halqa) halqaga davomi µ ham σ− additiv o`lchov bo`ladi.

Isbot. A ∈ M(S

m

)

to`plam va o`zaro kesishmaydigan B

n

∈ M(S

m

),

n ∈ N

to`plamlar berilgan bo`lib, A =

∞

S

k=1

B

k

tenglik bajarilsin. U holda 5.3-

teoremaga ko`ra, S

m

da o`zaro kesishmaydigan cheklita {A

j

, j = 1, 2, . . . , l}

to`plamlar va o`zaro kesishmaydigan {B

ns

, s = 1, 2, . . . , l

n

}

to`plamlar sis-

temalari mavjud bo`lib, A =

l

S

j=1

A

j

, va B

n

=

l

n

S

s=1

B

ns

, n ∈ N

chekli yoyil-

malar o`rinli bo`ladi.

Endi C

nsj

= B

ns

T

A

j

belgilashlarni kiritamiz. Tuzilishiga ko`ra, C

nsj

to`plamlar o`zaro kesishmaydi va A

j

=

∞

S

n=1

l

n

S

s=1

C

nsj

va B

ns

=

l

S

j=1

C

nsj

yoyil-

malar o`rinli bo`ladi. S

m

da aniqlangan m o`lchovning σ− additivligidan

m(A

j

) =

∞

X

n=1

l

n

X

s=1

m(C

nsj

)

va m(B

ns

) =

l

X

j=1

m(C

nsj

)

(7.5)

75

tengliklarga ega bo`lamiz. Ikkinchi timondan M(S

m

)

da berilgan µ o`lchovning

aniqlanishiga ko`ra,

µ(A) =

l

X

j=1

m(A

j

)

va µ(B

n

) =

l

n

X

s=1

m(B

ns

).

(7.6)

U holda (7.5), (7.6) formulalardan

µ(A) =

l

X

j=1

m(A

j

) =

l

X

j=1

∞

X

n=1

l

n

X

s=1

m(C

nsj

) =

∞

X

n=1

l

n

X

s=1

l

X

j=1

m(C

nsj

) =

=

∞

X

n=1

l

n

X

s=1

m(B

ns

) =

∞

X

n=1

m(B

n

)

tengliklar zanjirini olamiz. Bu tengliklar zanjirida qatnashayotgan barcha qa-

torlar absolyut yaqinlashuvchi, shuning uchun

µ(A) =

∞

X

n=1

m(B

n

)

tenglikning o`rinli ekanligiga ega bo`lamiz.

∆

Ko`rsatildiki, agar yarim halqada σ− additiv o`lchov aniqlangan bo`lsa, u

holda uning halqaga davomi ham σ− additiv o`lchov bo`ladi, shuning uchun,

boshidan o`lchovni biror halqada aniqlangan deb qarash mumkin.

7.4-teorema. Biror S halqada σ− additiv m o`lchov berilgan bo`lib, A

va A

1

, A

2

, . . . , A

n

, . . .

to`plamlar S ga tegishli bo`lsin. U holda:

I

σ

.

Agar

∞

S

k=1

A

k

⊂ A

va i 6= j da A

i

T

A

j

= ∅

bo`lsa, u holda

∞

X

n=1

m(A

n

) ≤ m(A)

tengsizlik o`rinli;

II

σ

(sanoqli yarim additivlik). Agar A ⊂

∞

S

k=1

A

k

bo`lsa, u holda

m(A) ≤

∞

X

n=1

m(A

n

)

76

tengsizlik o`rinli.

Isbot. Agar A

k

to`plamlar o`zaro kesishmasa va A to`plamda saqlansa, u

holda 7.2-teoremaning I tasdig`iga ko`ra har bir n ∈ N da

n

X

k=1

m(A

k

) ≤ m(A)

tengsizlik o`rinli bo`ladi. Bu yerdan n → ∞ da limitga o`tsak I

σ

tasdiq

isbotiga ega bo`lamiz.

Endi II

σ

tasdiqni isbotlaymiz. S halqa bo`lgani uchun

B

n

= (A

n

\

A)\

n−1

[

k=1

A

k

.

to`plamlar S ga tegishli bo`ladi. Tuzilishiga ko`ra

A =

∞

[

k=1

B

k

,

B

n

⊂ A

n

va B

n

to`plamlar juft-jufti bilan o`zaro kesishmaydi, shuning uchun

m(A) =

∞

X

k=1

m(B

k

) ≤

∞

X

k=1

m(A

k

).

∆

7.1-eslatma. Ko`rinib turibdiki, teoremaning I

σ

tasdig`i o`rinli bo`lishi

qaralayotgan o`lchovning σ− additivligiga bog`liq emas, shuning uchun ixti-

yoriy additiv o`lchov uchun ham bu tasdiq o`rinli bo`ladi. Aksincha, II

σ

tas-

diqda o`lchovning σ− additivlik xossasi muhim ahamiyatga egadir. Haqiqatan

ham, yuqorida qaralgan 7.2-misolda σ− additiv bo`lmagan o`lchovda, o`lchovi