M. H. Shermatov, O. I. Egamberdiyev funksional analiz va integral tenglamalar

Ikkinchi tomondan, ravshanki,

µ(R

i

) = µ

Ã

∞

[

k=i

{x : | f

n

k

(x) − f (x)| ≥ ε

k

}

!

≤

≤

∞

X

k=i

µ ({x : | f

n

k

(x) − f (x)| ≥ ε

k

} ) ≤

∞

X

k=i

η

k

tengsizlik o`rinli. So`nggi qator yaqinlashuvchi qatorning qoldig`i bo`lganligi

uchun lim

n→∞

µ(R

n

) = 0.

Demak, µ(R) = lim

i→∞

µ(R

i

) = 0.

Endi ixtiyoriy x ∈

E\R

uchun lim

k→∞

f

n

k

(x) = f (x)

ni ko`rsatish qoldi. Faraz qilaylik, x

0

∈ E\R,

ya'ni x

0

/

∈ R

bo`lsin. U holda shunday i

0

mavjudki, x

0

/

∈ R

i

0

.

Bu shuni

anglatadiki, barcha k ≥ i

0

lar uchun x

0

/

∈ {x : |f

n

k

(x) − f (x)| ≥ ε

k

}

ya'ni

|f

n

k

(x

0

) − f (x

0

)| < ε

k

.

101

Shartga ko`ra ε

k

→ 0,

shuning uchun lim

k→∞

f

n

k

(x

0

) = f (x

0

).

∆

Quyidagi teorema uzluksiz va o`lchovli funksiyalar o`rtasidagi muhim bog`la-

nishni ifodalaydi.

10.6-teorema (Luzin). [a, b] kesmada aniqlangan f funksiya o`lchovli

bo`lishi uchun ixtiyoriy ε > 0 son uchun [a, b] da uzluksiz bo`lgan shun-

day ϕ funksiya mavjud bo`lib, µ ({x ∈ [a, b] : f(x) 6= ϕ(x)}) < ε tengsizlik

bajarilishi zarur va yetarli.

10.1-natija. [a, b] kesmada uzluksiz funksiya o`lchovlidir.

10.6-misol. [0, π] kesmada aniqlangan

f (x) =







sin x, x ∈ [0, π] \Q

cos

2

(sin x), x ∈ Q

funksiya o`lchovli bo`ladimi?

Yechish. 10.1-natijaga ko`ra, uzluksiz ϕ(x) = sin x, x ∈ [0, π] funksiya

o`lchovli bo`ladi. Luzin teoremasi va

µ ({x : f (x) 6= ϕ(x)}) = µ([0, π]

\

Q) = 0 < ε

tengsizlikdan f funksiyaning [0, π] kesmada o`lchovli ekanligi kelib chiqadi.

Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar

1.

Agar f : E → R o`lchovli funksiya va A ⊂ E− o`lchovli to`plam bo`lsa,

u holda f funksiyaning A to`plamda o`lchovli bo`lishini isbotlang.

2.

Agar f va g funksiyalar E to`plamda o`lchovli bo`lsa, u holda

h

−

(x) = min {f (x), g(x)}

va

h

+

(x) = max {f (x), g(x)}

funksiya-

larning o`lchovli bo`lishini isbotlang.

3.

Agar f ∼ g va g ∼ ϕ bo`lsa, u holda f ∼ ϕ ekanligini isbotlang.

4.

10.5-misolda keltirilgan {g

n

}

ketma-ketlikdan nolga deyarli yaqinlashuv-

chi qismiy ketma-ketlik ajrating.

102

5.

10.4-misol uchun Yegorov teoremasi shartlarini qanoatlantiruvchi E

δ

to`plamni δ = 10

−3

uchun quring.

6.

Dirixle va Riman funksiyalari uchun Luzin teoremasining shartlari-

ni qanoatlantiruvchi uzluksiz ϕ funksiyani toping. D va R larning

aniqlanishini (2.1) va (2.2) - lardan qarang.

7.

f

funksiyaga har bir nuqtada yaqinlashuvchi, lekin tekis yaqinlashmay-

digan f

n

funksiyalar ketma-ketligiga misol keltiring.

8.

f

n

(x) = x

n

, x ∈ [0, 1]

funksional ketma-ketlikning limitik funksiyasini

toping.

9.

f

n

(x) = x

n

, x ∈ [−1, 1]

funksional ketma-ketlik Dirixle yoki Riman

funksiyalariga deyarli yaqinlashadimi?

10.

Deyarli yaqinlashuvchi funksional ketma-ketlikning limitik funksiyasi yago-

na bo`ladimi? Agar yagona bo`lmasa, bu haqda o`z kringizni ayting.

103

IV bob. Lebeg integrali

Riman integrali odatda uzluksiz funksiyalar yoki uzilish nuqtalari juda ko`p

bo`lmagan funksiyalar uchun kiritiladi. Riman integrali avval [a, b] kesmada,

keyin esa [a, b]×[c, d] to`g`ri to`rtburchakda va hokazo kiritiladi. Lebeg inte-

grali esa ixtiyoriy tabiatli to`plamlarda bir xilda kiritiladi. Hattoki, aniqlanish

sohasining hamma yerida uzilishga ega bo`lgan funksiyalar uchun ham Lebeg

integralini aniqlash mumkin.

Lebeg integralining Riman integralidan asosiy farqlaridan biri shundaki, u

funksiyaning aniqlanish sohasi bo`lgan [a, b] kesmani bo`laklarga bo`layot-

ganda argument qiymatlarining yaqinligini emas, balki funksiya qiymatlari-

ning yaqinligini hisobga oladi. Keyinchalik biz ko`ramizki, Lebeg integrali

Riman integraliga qaraganda katta imkoniyatlarga ega bo`ladi. Avval sodda

funksiyalar uchun Lebeg integrali ta'rianadi, keyin Lebeg integrali ixtiyoriy

o`lchovli funksiyalar sin uchun aniqlanadi.

Bu bob 11-14 ŸŸ lardan iborat. 11-Ÿ da sodda funksiyalar uchun Lebeg inte-

grali kiritilgan, uning A, B va C xossalari isbotlangan. 12-Ÿ da chekli o`lchovli

to`plamda aniqlangan o`lchovli funksiyalar uchun Lebeg integralining umumiy

ta'ri berilgan. Lebeg integralining asosiy xossalari (I-VIII) keltirilgan. Bu xos-

salar Riman integrali xossalari bilan solishtirilgan. IV, VI, VII, va VIII xossalar

faqat Lebeg integrali uchun xos ekanligi ta'kidlanib, bu xossalar Riman integ-

rali uchun to`g`ri emasligiga misollar keltirilgan. Bundan tashqari Lebeg integ-

ralining absolyut uzluksizlik va σ− additivlik xossalari isbotlangan. Lebeg in-

tegralining σ− additivlik xossasiga ma'lum ma'noda teskari teorema keltirilib

isbotlangan. Manymas fumksiyalar uchun Chebishev tengsizligi isbotlangan.

Chebishev tengsizligidan foydalanib, manymas funksiyaning integrali nolga

tengligidan uning o`zi nolga ekvivalent ekanligi keltirib chiqarilgan. 13-Ÿ in-

tegral belgisi ostida limitga o`tish alomatlariga bag`ishlangan. Lebeg, Levi

104

va Fatu teoremalari o`z isbotlarini topgan. Oxirgi 14-Ÿ da cheksiz o`lchovli

to`plam bo`yicha olingan Lebeg integraliga ta'rif berilgan, Lebeg va Riman

integrallarini taqqoslash haqidagi teorema isbotlangan. Lebeg ma'nosida in-

tegrallanuvchi, lekin Riman ma'nosida integrallanuvchi bo`lmagan funksiyaga

misol keltirilgan.

11- §. Sodda funksiyalar uchun Lebeg integrali

Biz 11-13-ŸŸ larda o`lchovli E yoki A to`plamda aniqlangan, o`lchovli f

funksiyani qaraymiz va µ(E) < +∞ deb faraz qilamiz.

11.1-ta'rif. Agar f : E → R o`lchovli bo`lib, uning qiymatlari to`plami

ko`pi bilan sanoqli bo`lsa, u holda f sodda funksiya deyiladi.

11.1-teorema. Ko`pi bilan sanoqlita har xil y

1

, y

2

, . . . , y

n

, . . .

qiymatlarni

qabul qiluvchi f funksiya o`lchovli bo`lishi uchun

A

n

= {x ∈ E : f (x) = y

n

}

to`plamlarning o`lchovli bo`lishi zarur va yetarli.

Isbot. Zaruriyligi. f funksiya E to`plamda o`lchovli bo`lsa, A

n

to`plam-

larning o`lchovli ekanligi 9.1-lemmadan kelib chiqadi.

Yetarliligi. A

n

to'plamlarning har biri o`lchovli ekanligidan f funksiyaning

o`lchovli ekanligini keltirib chiqaramiz.

E(f < c) =

[

y

n



A

n

tenglikdan va o`lchovli to'plamlarning chekli yoki sanoqli birlashmasi o`lchovli

ekanligidan f ning E da o`lchovli funksiya ekanligi kelib chiqadi.

∆

11.1-misol. Agar f : E → R o`lchovli funksiya bo`lsa, u holda g(x) =

[f (x)]

funksiya E da sodda funksiya bo`lishini isbotlang. Bu yerda [a] belgi

a

sonining butun qismini bildiradi.

105

Isbot. g funksiya faqatgina butun qiymatlar qabul qiladi. Shuning uchun

uning qiymatlar to`plami ko`pi bilan sanoqlidir. Endi uning o`lchovli ekanligini

ko`rsatamiz. Haqiqatan ham, ixtiyoriy n ∈ Z uchun

{x ∈ E : g(x) = n} = {x ∈ E : n ≤ f (x) < n + 1}

tenglik o`rinli. 9.1-lemmaga ko`ra E(n ≤ f < n + 1) to`plam o`lchovli. 11.1-

teoremaga ko`ra g funksiya E da o`lchovli funksiya bo`ladi. 11.1-ta'rifga ko`ra,

g

sodda funksiya bo`ladi.

∆

11.2-misol. Sodda funksiyaning songa ko`paytmasi yana sodda funksiya

bo`lishini ko`rsating. Sodda funksiyalar yig`indisi yana sodda funksiya bo`lishini

isbotlang.

Isbot. Sodda funksiyaning songa ko`paytmasi yana sodda funksiya bo`lishi

bevosita ta'rifdan kelib chiqadi. Sodda funksiyalar yig`indisining yana sodda

funksiya bo`lishi esa, o`lchovli funksiyalar yig`indisining yana o`lchovli funksiya

ekanligidan (9.1-teorema) hamda chekli yoki sanoqli sonli to'plamlarning arif-

metik yig`indisi (3-Ÿ dagi 5-topshiriq) yana chekli yoki sanoqli to`plam ekan-

ligidan kelib chiqadi.

∆

11.2-teorema (O`lchovlilik mezoni). f : E → R funksiya o`lchovli bo`lishi

uchun unga tekis yaqinlashuvchi sodda funksiyalar ketma-ketligining mavjud

bo`lishi zarur va yetarli.

Isbot. Yetarliligi 9.2-teoremadan kelib chiqadi.

Zaruriyligi. f− o`lchovli funksiya bo`lsin. Unga tekis yaqinlashuvchi {f

n

}

sodda funksiyalar ketma-ketligining mavjudligini ko`rsatamiz. 11.1-11.2 mi-

sollarga ko`ra, har bir n ∈ N uchun

f

but

n

(x) =

[nf (x)]

n

(11.1)

sodda funksiya bo`ladi. Bundan tashqari

¯

¯f(x) − f

but

n

(x)

¯

¯ =

¯

¯

¯

¯f (x) −

[nf (x)]

n

¯

¯

¯

¯ =

¯

¯

¯

¯

nf (x) − [nf (x)]

n

¯

¯

¯

¯ =

{nf (x)}

n

≤

1

n

106

tengsizlik o`rinli. Demak, f

but

n

ketma-ketlik f ga tekis yaqinlashadi.

∆

Dastlab cheklita y

1

, y

2

, . . . , y

n

qiymatlarni qabul qiluvchi f : A → R sod-

da funksiya uchun Lebeg integrali tushunchasini kelritamiz. Ixtiyoriy k ∈

{1, 2, . . . , n}

uchun

A

k

= {x ∈ A : f (x) = y

k

}

(11.2)

belgilash olamiz.

11.2-ta'rif. Bizga y

1

, y

2

, . . . , y

n

qiymatlarni qabul qiluvchi f : A → R

sodda funksiya berilgan bo`lsin. U holda

n

X

k=1

y

k

µ(A

k

)

yig`indi f sodda funksiyaning A to`plam bo`yicha olingan Lebeg integrali de-

yiladi va quyidagicha belgilanadi

Z

A

f (x)dµ =

n

X

k=1

y

k

µ(A

k

).

Endi bizga sanoqlita y

1

, y

2

, . . . , y

n

, . . .

qiymatlarni qabul qiluvchi f : A → R

sodda funksiya berilgan bo`lsin. f funksiya uchun quyidagi formal

∞

X

k=1

y

k

µ(A

k

)

(11.3)

qatorni qaraymiz, bu yerda A

k

lar (11.2) tenglik bilan aniqlanadi.

11.3-ta'rif. Agar (11.3) qator absolyut yaqinlashuvchi bo`lsa, u holda f

sodda funksiya A to`plamda Lebeg ma'nosida integrallanuvchi deyiladi. (11.3)

qatorning yig`indisi f funksiyadan A to`plam bo`yicha olingan Lebeg integrali

deyiladi va quyidagicha belgilanadi

Z

A

f (x)dµ =

∞

X

n=1

y

n

µ(A

n

).

Bu ta'rifda y

n

larning har xilligi talab qilingan. Lekin y

n

larning har xil-

ligini talab qilmasdan ham sodda funksiyalar uchun Lebeg integrali ta'rini

keltirish mumkin. Bu quyidagi lemma yordamida amalga oshiriladi.

107

11.1-lemma. A =

S

k

B

k

, B

i

T

B

j

= ∅, i 6= j

va har bir B

k

to`plamda

f

funksiya faqat bitta c

k

qiymat qabul qilsin. f sodda funksiya A to`plamda

integrallanuvchi bo`lishi uchun

X

k

y

k

µ(B

k

)

(11.4)

qatorning absolyut yaqinlashuvchi bo`lishi zarur va yetarlidir.

Isbot. Osongina ko`rish mumkinki, har bir

A

n

= {x ∈ A : f (x) = y

n

}

to`plam c

k

= y

n

bo`ladigan B

k

to'plamlarning birlashmasidan iborat, ya'ni

A

n

=

[

c

k

=y

n

B

k

.

Shuning uchun

X

n

y

n

µ(A

n

) =

X

n

y

n

X

c

k

=y

n

µ(B

k

) =

X

k

c

k

µ(B

k

).

O`lchovning manymasligidan

X

n

|y

n

| µ(A

n

) =

X

n

|y

n

|

X

c

k

=y

n

µ(B

k

) =

X

k

|c

k

| µ(B

k

)

ya'ni

X

n

y

n

µ(A

n

)

va

X

k

c

k

µ(B

k

)

qatorlar bir vaqtda absolyut yaqinlashadi yoki uzoqlashadi. Sodda funksiyalar

uchun Lebeg integralining ba'zi xossalarini isbotlaymiz.

A) Additivlik xossasi. Agar f va g sodda funksiyalar A to`plamda integ-

rallanuvchi bo`lsa, u holda f + g sodda funksiya ham A to`plamda integral-

lanuvchi va quyidagi tenglik o`rinli

Z

A

[f (x) + g(x)]dµ =

Z

A

f (x)dµ +

Z

A

g(x)dµ.

108

Isbot. f + g ning sodda funksiya bo`lishi 11.2-misolda isbotlangan. In-

tegrallanuvchi f sodda funksiya f

i

qiymatni A

i

⊂ A

to`plamda, g sodda

funksiya esa g

j

qiymatni B

j

⊂ A

to`plamda qabul qilsin. U holda

Z

A

f (x)dµ =

X

i

f

i

µ(A

i

),

Z

A

g(x)dµ =

X

j

g

j

µ(B

j

)

qatorlar absolyut yaqinlashuvchi bo`ladi. O`lchovning σ− additivlik xossasiga

ko`ra, quyidagi tengliklar o`rinli

µ(A

i

) =

X

j

µ(A

i

\

B

j

),

µ(B

j

) =

X

i

µ(A

i

\

B

j

).

U holda quyidagi musbat hadli qatorlar

X

i

X

j

|f

i

| · µ(A

i

\

B

j

),

X

i

X

j

|g

j

| · µ(A

i

\

B

j

)

yaqinlashuvchi bo`ladi. Demak,

X

i

X

j

(f

i

+ g

j

)µ(A

i

\

B

j

)

qator absolyut yaqinlashuvchi. Bundan f + g sodda funksiyaning integral-

lanuvchi ekanligi kelib chiqadi. 11.1-lemmaga ko`ra,

Z

A

[f (x) + g(x)]dµ =

X

i

X

j

(f

i

+ g

j

)µ(A

i

\

B

j

) =

X

i

f

i

X

j

µ(A

i

\

B

j

)+

+

X

j

g

j

X

i

µ(A

i

\

B

j

) =

X

i

f

i

· µ(A

i

) +

X

j

g

j

µ(B

j

) =

=

Z

A

f (x)dµ +

Z

A

g(x)dµ.

∆

B) Agar f sodda funksiya A to`plamda integrallanuvchi bo`lsa, u holda

ixtiyoriy k ∈ R o`zgarmas uchun k · f funksiya ham A to`plamda integral-

lanuvchi va quyidagi tenglik o`rinli

Z

A

k · f (x)dµ = k

Z

A

f (x)dµ.

109