M. H. Shermatov, O. I. Egamberdiyev funksional analiz va integral tenglamalar

0

)

tenglikni qanoat-

lantiruvchi eng o`ng nuqtani belgilaymiz. x

∗

∈ (a

k

, b

k

) ⊂ E

bo`lgani uchun

shunday ξ > x

∗

mavjudki, g(x

∗

) < g(ξ)

bo`ladi. g ning uzluksizligi va x

∗

ning tanlanishiga ko`ra, ξ 6∈ (a

k

, b

k

).

Ikkinchi tomondan, ξ > b

k

bo`lishi

mumkin emas, chunki g(ξ) > g(x

∗

) > g(b

k

)

dan b

k

∈ E

bo`lar edi. Bu zid-

diyat ko`rsatadiki, (17.4) tengsizlik bajarilmaydi, ya'ni (17.3) tengsizlik o`rinli.

149

Endi olingan natijadan µ(E

αβ

) = 0

tenglikni isbotlashda foydalanamiz.

Agar x ∈ E

αβ

bo`lsa, u holda x ga yetarlicha yaqin bo`lgan ixtiyoriy ξ > x

lar uchun

Φ(ξ) − Φ(x)

ξ − x

> β

(17.5)

tengsizlik yoki

Φ(ξ) − βξ > Φ(x) − βx

tengsizlik bajariladi. Bundan x ning Φ(x) − β x funksiya uchun o`ngdan

ko`rinmaydigan nuqta ekanligi kelib chiqadi. O`ngdan ko`rinmaydigan nuqtalar

to`plami ochiq to`plam bo`lgani uchun x ning biror (x − δ, x + δ) ⊂ G

atrodagi barcha nuqtalar o`ngdan ko`rinmaydigan nuqtalar bo`ladi. Shuning

uchun g(x) = Φ(x) − β x funksiyaning G dagi o`ngdan ko`rinmaydigan

nuqtalari to`plami qandaydir S ochiq to`plamdan iborat bo`ladi, ya'ni E

αβ

⊂

S ⊂ G.

Bundan tashqari,

S =

[

k

(a

k

, b

k

)

va har bir k da

Φ(b

k

) − β · b

k

≥ Φ(a

k

) − β · a

k

tengsizlik o`rinli. U holda

Φ(b

k

) − Φ(a

k

) ≥ β (b

k

− a

k

)

yoki

Z

b

k

a

k

f (t) dt ≥ β (b

k

− a

k

).

Shunga o`xshash tengsizliklarni S ni tashkil qiluvchi barcha (a

k

, b

k

)

inter-

vallar bo`yicha yig`ib,

Z

S

f (t)dt ≥ βµ(S).

(17.6)

tengsizlikni olamiz. Bu tengsizlik bilan bir vaqtda

Z

S

f (t)dt =

Z

E

αβ

f (t)dt +

Z

S\E

αβ

f (t)dt <

150

< αµ(E

αβ

) + ε ≤ α · µ(S) + ε + |α| · δ

(17.7)

tengsizlik o`rinli. Chunki µ(S) ≤ µ(G) < µ(E

αβ

) + δ,

µ(S\E

αβ

) < δ

va

Z

S\E

αβ

f (t)dt < ε.

(17.6) va (17.7) tengsizliklarni taqqoslab,

α µ(S) + ε + |α|δ ≥ β µ(S)

tengsizlikka ega bo`lamiz. Bundan

µ(S) ≤

ε + |α|δ

β − α

tengsizlik kelib chiqadi.

Shunday qilib, E

αβ

to`plamning o`lchovi istalgan sondan kichik bo`lgan

ochiq to`plam bilan qoplash mumkin. Bundan µ(E

αβ

) = 0

ekanligi kelib

chiqadi. Demak,

µ { x : f (x) < Φ

0

(x) } = 0.

Shuning uchun deyarli hamma yerda f (x) ≥ Φ

0

(x)

tengsizlik o`rinli. Endi

f (x)

ni −f (x) bilan almashtirsak, deyarli hamma yerda

−f (x) ≥ −Φ

0

(x)

⇐⇒

f (x) ≤ Φ

0

(x) .

(17.8)

(17.1) va (17.8)dan f (x) = Φ

0

(x)

deyarli barcha x lar uchun o`rinli ekanligi

kelib chiqadi. Shunday qilib,

f (x) = Φ

0

(x) =

d

dx

Z

[a, x]

f (t) dµ

tenglik deyarli barcha x lar uchun o`rinli.

∆

Bobning boshida qo`yilgan ikkita savoldan birinchisiga biz javob berdik.

Endi ikkinchi savolga o`tamiz, ya'ni uzluksiz dierensiallanuvchi funksiyalar

uchun o`rinli bo`lgan Nyuton-Leybnits formulasini

F (x) = F (a) +

Z

x

a

F

0

(t) dt

(17.9)

151

Lebeg integrali uchun qanday umumlashtirish mumkin? Ya'ni (17.9) tenglik

qanday funksiyalar sin uchun o`rinli? Biz deyarli barcha nuqtalarda chek-

li hosilasi mavjud bo`lgan funksiyalar sin bilan chegaralanamiz. Ma'lumki

(16.2-teorema), o`zgarishi chegaralangan funksiya deyarli hamma yerda chek-

li hosilaga ega. Ikkkinchi tomondan, (17.9) tenglikning o`ng tomoni o`zgarishi

chegaralangan funksiya. Shuning uchun (17.9) tenglik o`zgarishi chegaralangan

funksiyalar sindan kattaroq to`plamda o`rinli bo`lishi mumkin emas. Har qan-

day o`zgarishi chegaralangan funksiya ikkita monoton kamayuvchi funksiyalar

ayirmasi ko`rinishida tasvirlanadi. Shuning uchun monoton funksiyalar uchun

(17.9) tenglik o`rinlimi degan savolni qo`yamiz.

Umuman olganda ixtiyoriy monoton funksiya uchun (17.9) tenglik o`rinli

emas. Lekin quyidagi tasdiq o`rinli.

17.2-teorema. Monoton kamaymaydigan f funksiyaning hosilasi integ-

rallanuvchi va quyidagi tengsizlik o`rinli:

Z

b

a

f

0

(t) dt ≤ f (b) − f (a) .

(17.10)

Isbot. Hosila ta'riga ko`ra, f ning x nuqtadagi hosilasi

f (x + h) − f (x)

h

= ϕ

h

(x)

(17.11)

nisbatning h → 0 dagi limitidir. f ning monotonligidan uning integral-

lanuvchanligi kelib chiqadi. Demak, har bir ϕ

h

integrallanuvchidir. Shuning

uchun (17.11) tenglikni integrallash mumkin:

Z

b

a

ϕ

h

(x) dx =

1

h

Z

b

a

f (x + h) dx −

1

h

Z

b

a

f (x) dx .

f

funksiyani (b, ∞) ga f(b) deb davom ettirib bu integralni quyidagicha

yozish mumkini

Z

b

a

ϕ

h

(x) dx =

1

h

Z

b+h

a+h

f (x) dx −

1

h

Z

b

a

f (x) dx =

152

=

1

h

Z

b+h

b

f (x) dx −

1

h

Z

a+h

a

f (x) dx.

Bu tenglikdan h → 0 da limitga o`tamiz. Integral belgisi ostida limitga o`tish

haqidagi Fatu teoremasiga ko`ra,

Z

b

a

f

0

(x) dx ≤ lim

h→0

Z

b

a

ϕ

h

(x) dx = f (b) − f (a + 0) ≤ f (b) − f (a)

tengsizlik o`rinli. Bu yerda qat'iy tengsizlik o`rinli bo`ladigan monoton funksiya-

ga misol keltirish mumkin:

f (x) =







0, agar x ∈ [0, 0, 5]

1, agar x ∈ (0, 5, 1].

Deyarli hamma yerda f

0

(x) = 0

ekanligdan

0 =

Z

1

0

0 · dx < f (1) − f (0) = 1

ni olamiz. Biror monoton uzluksiz funksiya uchun

Z

x

a

f

0

(x) dx < f (x) − f (a)

(17.12)

tengsizlikning barcha x ∈ (a, b) lar uchun bajarilishini ko`rsatish qiziq masa-

ladir. Kantorning zinapoya funksiyasi K (6.4-misol) uchun

Z

x

0

K

0

(x)dx < K(x) − K(0) = K(x)

tengsizlik barcha x ∈ (0, 1) larda o`rinli bo`ladi. Mustaqil isbotlang.

17.2. Absolyut uzluksiz funksiyalar. Shuni ta'kidlash lozimki, f mono-

ton funksiya bo`lgan holda

Z

b

a

f

0

(t) dt = f (b) − f (a)

tenglikdan (a, b] yarim intervaldagi ixtiyoriy x uchun

Z

x

a

f

0

(t) dt = f (x) − f (a)

(17.13)

153

tenglik bajarilishi kelib chiqadi. Endi (17.13) tenglik o`rinli bo`ladigan funk-

siyalar sinni tavsiash uchun quyidagi ta'rifni keltiramiz.

17.2-ta'rif. Bizga [a, b] kesmada aniqlangan f funksiya berilgan bo`lsin.

Agar ixtiyoriy ε > 0 son uchun shunday δ > 0 mavjud bo`lib, soni chek-

li va har ikkisi o`zaro kesishmaydigan har qanday {(a

k

, b

k

)}

n

k=1

intervallar

sistemasi uchun

n

[

k=1

(a

k

, b

k

) ⊂ [a, b],

n

X

k=1

(b

k

− a

k

) < δ

shartlar bajarilganda

n

X

k=1

|f (b

k

) − f (a

k

)| < ε

(17.14)

tengsizlik o`rinli bo`lsa, u holda f funksiya [a, b] kesmada absolyut uzluksiz

deyiladi.

17.2-ta'rifda n = 1 desak tekis uzluksiz funksiya ta'riga kelamiz. Ya'ni,

har qanday absolyut uzluksiz funksiya tekis uzluksizdir.

Endi absolyut uzluksiz funksiyalarning ayrim xossalarini keltiramiz.

1. Absolyut uzluksiz funksiya ta'ridagi "soni chekli" jumlani "soni chekli

yoki sanoqli" jumla bilan almashtirish mumkin.

Isbot. Haqiqatan ham, ixtiyoriy ε > 0 uchun shunday δ > 0 mavjud

bo`lib, [a, b] dan olingan har qanday o`zaro kesishmaydigan va uzunliklari

yig`indisi δ dan kichik bo`lgan ixtiyoriy {(a

k

, b

k

)}

n

k=1

chekli intervallar sis-

temasi uchun

n

X

k=1

|f (b

k

) − f (a

k

)| < ε

(17.15)

tengsizlik bajariladi. Endi [a, b] dan olingan sanoqli sondagi o`zaro kesish-

maydigan va uzunliklarining yig`indisi δ dan kichik bo`lgan {(a

k

, b

k

)}

∞

k=1

intervallar sistemasi berilgan bo`lsin. U holda ixtiyoriy n ∈ N uchun (17.15)

154

tengsizlik o`rinli. (17.15) tengsizlikda n → ∞ da limitga o`tib,

∞

X

k=1

|f (b

k

) − f (a

k

) | ≤ ε

tengsizlikni olamiz.

∆

2. Har qanday absolyut uzluksiz funksiya o`zgarishi chegaralangandir.

Isbot. Funksiya absolyut uzluksiz bo`lgani uchun quyidagilar o`rinli:

∀ε > 0, ∃δ = δ(ε) > 0,

∀ {(a

k

, b

k

)}

n

k=1

,

n

X

k=1

(b

k

− a

k

) < δ

bo`lganda

n

X

k=1

|f (b

k

) − f (a

k

)| < ε

tengsizlik bajariladi. [a, b] kesmani uzunligi δ dan oshmaydigan [x

k

, x

k+1

]

bo`lakchalarga bo`lamiz

[a, b] =

n−1

[

k=0

[x

k

, x

k+1

],

u holda ixtiyoriy [x

k

, x

k+1

],

(x

k+1

−x

k

< δ)

uchun V

x

k+1

x

k

[f ] ≤ ε

tengsizlik

o`rinli. Shuning uchun

V

b

a

[f ] =

n

X

k=1

V

x

k

x

k−1

[f ] < n · ε.

3. Absolyut uzluksiz funksiyalar yig`indisi, ayirmasi yana absolyut uzluksiz

funksiyadir. Absolyut uzluksiz funksiyaning songa ko`paytmasi yana absolyut

uzluksiz funksiyadir.

3-xossaning isboti bevosita ta'rifdan kelib chiqadi.

4. Har qanday absolyut uzluksiz funksiyani ikkita monoton kamaymaydigan

absolyut uzluksiz funksiyalar ayirmasi shaklida tasvirlash mumkin.

Isbot. f absolyut uzluksiz funksiya bo`lgani uchun u o`zgarishi chegara-

langan funksiyadir. Shuning uchun quyidagi tasvirlar o`rinli

f (x) = v (x) − ϕ (x) ,

v (x) = V

x

a

[f ] ,

ϕ (x) = v (x) − f (x) .

155

f

ning absolyut uzluksizligidan v ning absolyut uzluksizligi kelib chiqadi.

3-xossaga ko`ra ϕ ham absolyut uzluksiz funksiya bo`ladi.

∆

Quyidagi ikkita teorema absolyut uzluksiz funksiya va Lebegning aniqmas

integrali orasidagi muhim bog`lanishni ifodalaydi.

17.3-teorema. Agar f funksiya [a, b] kesmada integrallanuvchi bo`lsa,

u holda

F (x) =

Z

[a,x]

f (t) dµ

funksiya [a, b] da absolyut uzluksiz bo`ladi.

Isbot. {(a

k

, b

k

)}

n

1

⊂ [a, b]

o`zaro kesishmaydigan va uzunliklarining yig`indisi

δ > 0

oshmaydigan ixtiyoriy intervallar sistemasi bo`lsin. U holda

n

X

k=1

|F (b

k

) − F (a

k

) | =

n

X

k=1

¯

¯

¯

¯

Z

[a

k

,b

k

]

f (t) dµ

¯

¯

¯

¯ ≤

≤

n

X

k=1

Z

[a

k

,b

k

]

| f (t) |dµ =

Z

n

S

k=1

[a

k

,b

k

]

| f (t) |dµ < ε.

Oxirgi tenglik Lebeg integralining absolyut uzluksizlik xossasi (12.4-teorema)

dan kelib chiqadi.

∆

17.4-teorema (Lebeg). F − [a, b] da absolyut uzluksiz funksiya bo`lsin.

U holda F

0

(x) = f (x)

funksiya [a, b] da integrallanuvchi va ixtiyoriy x ∈

[a, b]

da quyidagi tenglik o`rinli

Z

[a, x]

f (t) dµ = F (x) − F (a) .

17.4-teorema isbotida quyidagi lemmadan foydaliniladi.

17.1-lemma. Agar f − kamaymaydigan absolyut uzluksiz funksiya bo`lib,

f

0

(x) = 0

tenglik deyarli barcha x lar uchun o`rinli bo`lsa, u holda f (x) =

const.

17.4-teoremaning isboti. Teoremani f (t) ≥ 0 bo`lgan holda isbotlash

156

yetarli. Bu holda F (x) kamaymaydigan funksiya bo`ladi.

Φ (x) = F (x) −

Z

[a, x]

f (t) dµ

(17.16)

funksiyani qaraymiz. Φ ham kamaymaydigan funksiya. Haqiqatan ham, x

0

<

x

00

bo`lsin, u holda

Φ(x

00

) − Φ(x

0

) = F (x

00

) − F (x

0

) −

Z

[x

0

, x

00

]

f (t) dµ ≥ 0.

So`nggi tengsizlik 17.2-teoremadan kelib chiqadi. F (x) va

Z

[a, x]

f (t) dµ

lar absolyut uzluksiz funksiyalar bo`lganligi uchun Φ ham absolyut uzluksiz

funksiya bo`ladi. Bundan tashqari, deyarli barcha x lar uchun Φ

0

(x) = 0.

Bobning boshida qo`yilgan 1-savolga javob berganda

d

dx

Z

[a, x]

f (t)dµ = f (x), Φ

0

(x) = f (x) −

d

dx

Z

[a, x]

f (t)dµ = 0

tengliklarni ko`rsatgan edik. 17.1-lemmaga ko`ra, Φ (x) = const. Ikkinchi

tomondan

Φ (a) = F (a) −

Z

[a, a]

f (t) dt = F (a)

tenglik o`rinli. Demak, (17.16) ko`ra,

F (x) = F (a) +

Z

[a, x]

f (t) dµ

tenglik o`rinli.

∆

17.3. Xulosa. 16.3-teoremaga ko`ra, ixtiyoriy o`zgarishi chegaralangan

funksiyani uzluksiz o`zgarishi chegaralangan funksiya ϕ va sakrashlar funk-

siyasi H ning yig`indisi ko`rinishida tasvirlash mumkin, ya'ni f (x) = ϕ (x)+

H (x) .

Endi uzluksiz, lekin absolyut uzluksiz bo`lmagan va o`zgarishi chegaralan-

gan ϕ funksiyani qaraymiz. Uning uchun deyarli hamma x larda chekli ϕ

0

(x)

157

hosila mavjud.

ψ (x) =

Z

[a, x]

ϕ

0

(t) dµ

belgilash kiritamiz. U holda χ (x) = ϕ (x) − ψ (x) uzluksiz o`zgarishi chega-

ralangan funksiya bo`ladi va deyarli barcha x lar uchun

d

dx

χ (x) = ϕ

0

(x) −

d

dx

Z

[a, x]

ϕ

0

(t) dt = 0.

17.3-ta'rif. Agar uzluksiz va o`zgarmasdan farqli o`zgarishi chegaralangan

f

funksiyaning hosilasi deyarli barcha x larda nolga aylansa, u singulyar

funksiya deyiladi.

Shunday qilib, biz quyidagi tasdiqqa keldik. Har qanday o`zgarishi chega-