M sohasi: im yo‘nalis oliy V t “o iqtis

11.11. 
2
2
2
1
2
3
1 2
1
2
3
; ;
4
3
2
(
)
f x
x
x
x
x x
x x




 
11.12. 
2
2
2
2
1
1
2
3
1 3
2 3
3
(
)
; ;
2
2
2
x
x
f x x
x
x
x
x x
x






 
 
Kvadratik formani kanonik koʻrinishga keltiring: 
11.13. 
2
2
2
1
2
3
1
2
3
1 2
1 3
2 3
(
) 7
7
7
2
;
2
2
;
f x x x
x
x
x
x x
x x
x x






 
11.14. 
1
2
3
1 2
1 3
2 3
;
(
)
;
f x x x
x x
x x
x x



 
11.15. 
2
2
2
1
2
3
1
2
3
1 2
1 3
2 3
(
) 17
14
14
; ;
4
4
8
f x x x
x
x
x
x x
x x
x x






 
11.16. 
2
2
1
2
1
1 2
2
(
) 3
6
4
;
f x x
x
x x
x



 
11.17. 
2
2
2
1
2
3
1
2
3
1 2
1 3
2 3
(
2
4
; )
2
;
2
f x x x
x
x
x
x x
x x
x x






 
11.18.  
1
2
3
1 2
1 3
2 3
;
(
) 2
2
;
6
f x x x
x x
x x
x x



 
 
Quyidagi kvadratik formalarni ishoradasi aniqlang:  
11.19. 
2
2
1
2
1 2
1
2
;
2
(
)
6
10
f x
x
x
x
x
x



 
11.20. 
2
2
1
2
1
1 2
2
(
) –
2
4
;
f x x
x
x x
x



 
11.21. 
2
2
1
2
3
1
2
1 2
1 3
2 3
(
)
15
4
; ;
2
6
f x x x
x
x
x x
x x
x x





 
11.22. 
2
2
2
1
2
3
1 2
1 3
2 3
1
2
3
(
) 12
12
6
11
6
6
; ;
f x x x
x x
x x
x x
x
x
x






 
11.23. 
2
2
1
2
3
1
2
1 2
(
) 5
3
;
6
1
;
2
f x x x
x
x
x x



 
11.24. 
2
2
2
2
1
2
3
1
2
3
4
2 4
4
(
)
4
4
; ;
8
;
8
f x x x x
x
x
x
x
x x





 

 
53 
11.25. 
2
2
2
1
2
3
1
2
3
1 2
2 3
(
)
2
5
2
; ;
4
f x x x
x
x
x
x x
x x





 
11.26. 
2
2
2
1
2
3
1
2
3
1 3
2 3
(
) 9
4
6
4
; ;
2
f x x x
x
x
x
x x
x x





 
11.27. 
2
2
1
2
3
1
1 2
3
3
2 3
1
(
)
4
12
8
; ;
8
f x x x
x
x x
x
x x
x x





 
11.28. 
2
2
2
1
2
3
1
2
3
1 2
1 3
2 3
(
) 4
9
1
4
6
;
2
;
f x x x
x
x
x
x x
x x
x x






 
11.29. 
2
2
2
1
2
3
1
2
3
1 3
2 3
;
(
)
2
2
2
;
f x x x
x
x
x
x x
x x
  



 
11.30. 
2
2
2
1
2
3
1
2
3
1 3
2 3
(
) 4
2
3
4
; ;
4
f x x x
x
x
x
x x
x x





 
11.31. 
2
2
1
2
1
2
1 2
(
) 9
6
10
;
f
x
x x
x
x x



 
11.32. 
2
2
1
2
1
2
1 2
;
(
)
f x x
x
x
x x



 
11.33. 


1; 3 ,

 


0; 2 ,
 


1; 1

 nuqtalar orqali oʻtuvchi aylana tenglamasini 
yozing. 
Yechish.
 Aylana tenglamasini 

 

2
2
2
x a
y b
R




  koʻrinishida izlaymiz. 
Berilgan nuqtalar koordinatalarini tenglamaga qoʻyib quyidagi tenglamalar 
sistemasiga ega boʻlamiz: 

 




 

2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
3
,
2
,
1
1
.
a
b
R
a
b
R
a
b
R
  
 








  


 
Sistemadan 
a
, 
b
 va  R  ning qiymatlarini aniqlaymiz.  
 
Sistemaning birinchi ikkita tenglamasidan quyidagilarni olamiz: 

 



2
2
2
2
1
3
2
,
a
b
a
b
 
 



 
2
2
2
2
1 2
9 6
4 4
,
a a
b b
a
b b


 


 

 
3;
a b
  
 sistemaning ikkinchi va uchinchi tenglamasidan quyidagilarni olamiz: 

 
 

2
2
2
2
2
1
1
,
a
b
a
b


 
  
 bu yerdan 
3
1.
a
b

    
3,
3
1.
a b
a
b
  

   

 
sistemani yechib 
4,
a
 
 
1
b
    ni topamiz. a  va b   ning qiymatlarini 
boshlangʻich sistemaning ikkinchi tenglamasiga qoʻyib 
2
R
 ni topamiz: 
2
16 9
,
R
 
 
2
25.
R

 Izlanayotgan tenglama 

 

2
2
4
1
25.
x
y




 

 
54 
Aylana tenglamasini 
2
2
2
2
0
x
y
Dx
Ey F



   koʻrinishida ham izlash 
mumkin. Berilgan uchta nuqtaning koordinatalarini aylana tenglamasiga qoʻyib 
quyidagi sistemaga ega boʻlamiz: 
10 2
6
0,
4 4
0,
2 2
2
0.
D
E F
E F
D
E F


 



 

 

 

 
Sistemani yechib 
4,
D

 
1,
E

 
8
F
   ni topamiz, izlanayotgan aylana 
tenglamasi 
2
2
8
2
8 0.
x
y
x
y



   
11.34. 


4; 4
A
 nuqtadan va 
2
2
4
4
0
x
y
x
y



  aylana bilan  y
x
   toʻgʻri 
chiziqning kesishgan nuqtalaridan oʻtuvchi aylana tenglamasi yozilsin. 
11.35. 


1; 3
A

, 
 
0; 2
B
 va 


1; 1
C
  nuqtalardan oʻtuvchi aylana tenglamasi 
yozilsin. 
11.36.
 


1; 4
A

,  
 
1; 2
B
 va 
 
2; 1
C
 nuqtalardan oʻtuvchi aylana tenglamasini 
yozing. 
11.37.
 
2
2
24
49
1176
x
y


 ellips tenglamasi berilgan 
1) ellips yarim oʻqlari uzunliklari; 
2) fokuslari koordinatalarini; 
3) ellips ekssentrisiteti; 
4) direktrisalari tenglamalari va ular orasidagi masofa; 
5) ellipsning 
1
F
  chap fokusidan 
12
 ga teng masofada yotuvchi nuqtasi 
koordinatalarini toping. 
Yechish.
 
2
2
24
49
1176
x
y


  tenglamaning ikkala tomonini 1176  ga boʻlib 
kanonik tenglamasiga keltiramiz: 
2
2
1.
49
24
x
y


 
1) bu yerdan 
2
49,
a

 
2
24
b

 demak, 
7,
a

 
2 6.
b

 
2) 
2
2
2
c
a
b

  munosabatdan foydalanib, 
 
2
2
2
7
2 6
25,
c



 
5
c
   ni 
topamiz. Demak, 


1
5; 0
F
 
 va 
 
2
5; 0 .
F

 
3) 
c
a


 formuladan foydalanib 
5
7


 
ni topamiz. 
4) direktrisa tenglamasi 
7
5
7
x
 
 
49
5
x

 va 
49
5
x
 
 Direktrisalar orasidagi 
masofa 
49
49
98
19,6.
5
5
5
d



 






 

 
55 
5) 
1
r
a
x

 
 formula boʻyicha 
1
F
 nuqtadan 12 ga teng masofada yotuvchi 
nuqtasining absissasini topamiz: 
5
12 7
,
7
x
 
 7.
x
   x   ning qiymatini ellips 
tenglamasiga qoʻyib, bu nuqtaning ordinatasini topamiz: 
2
24 49 49
1176,
y



 
2
49
0,
y
  
0.
y

 


7; 0
A
 nuqta masala shartini qanoatlantiradi.  
11.38.
 
2
2
16
25
400 0
x
y


  ellips yarim oʻqlari, fokuslari koordinatalarini, 
ekssentrisiteti va direktrisalari tenglamalarini toping.  
11.39. 
Quyidagilarni bilgan holda ellips tenglamasini tuzing: 
1) Katta yarim oʻqi 10 va fokuslari 


1
6; 0
F
 
 va 


2
10; 0 .
F

  
2) 
5,
a

 


1
3; 5
F
 
 va 
 
2
3; 5 .
F

 
11.40. 


1
2; 4 3
M


 va 


2
1; 2 15
M
 
 nuqtalar orqali oʻtuvchi ellips 
tenglamasini tuzing. 
Yechish.
 Ellips 


1
2; 4 3
M


 va 


2
1; 2 15
M
 
 nuqtalar orqali oʻtadi, 
1
M
 
va 
2
M
 nuqtalarning koordinatalari ellips tenglamasini qanoatlantiradi. Quyidagi 
tenglamalar sistemasiga ega boʻlamiz: 
2
2
2
2
4
48
1,
1
60
1.
a
b
a
b









 
Bu sistemani yechib 
2
16,
a

 
2
64
b

 ga ega boʻlamiz. Shuning uchun 
izlanayotgan ellips tenglamasi 
2
2
1.
16
64
x
y


 
11.41. 
Koordinata oʻqlariga nisbatan simmetrik boʻlgan ellips 
 
2; 3
M
 va 
 
0; 2
B
 nuqtalaridan oʻtadi. Uning tenglamasi yozilsin va 
M
 nuqtadan 
fokuslarigacha boʻlagan masofa topilsin. 
11.42. 
 Ellips 


2 3; 6
M
 va 
 
6;0
A
 nutalardan oʻtadi. Uning tenglamasini, 
ekssentrisiteti va 
M
 nuqtadan fokuslargacha boʻlgan masofani toping. 
11.43.  
2
2
5
4
20
x
y


 giperbola tenglamasi berilgan. Quyidagilarni toping: 
1) giperbola yarim oʻqlari uzunliklari; 
2) fokuslari koordinatalari; 
3) giperbola ekssentrisiteti; 
4) asimptotalari va direktrisalari tenglamalari;  
5) 


3; 2,5
M
nuqtadagi fokal radiuslari. 

 
56 
Yechish.
 
2
2
5
4
20
x
y


 tenglamaning ikkala tomonini 20 ga boʻlib giperbolaning 
kanonik tenglamasiga keltiramiz: 
2
2
1.
4
5
x
y


 Bu yerdan:  
1) 
2
4,
a

 
2
5,
b

 bundan 
2,
a

 
5;
b

  
2) 
2
2
2
c
a
b

  munosabatdan foydalanib, 
2
4 5,
c
 
 
3
c
   ni topamiz. Demak, 


1
3; 0
F
 
 va 
 
2
3; 0 ;
F

 
3) 
a
c


 formuladan foydalanib 
3
2


 ni topamiz; 
4) asimptotalari va direktrisalari tenglamalari 
5
2
y
x
 
 va 
4
;
3
x
 
  
5) 


3; 2,5
M
nuqta giperbolaning oʻng pallasida yotadi. 
1
,
r
a
x

 
 
2
r
a
x

  
 
formulalardan foydalanib fokal radiuslarini topamiz: 
1
3
2
3 6,5,
2
r
   
 
2
3
2
3 2,5.
2
r
    
 
11.44.  
2
2
16
2
400
x
y


 giperbola tenglamasi berilgan. Uning oʻqlari, fokuslari, 
ekssentrisitetini toping va asimptotasining tenglamasini tuzing. 
11.45. 
 Fokuslari 
Oy
  oʻqida yotgan va fokuslari orasidagi masofa 10 ga teng, 
haqiqiy oʻqi uzunligi 8 ga teng giperbola tenglamasini tuzing.  
Yechish.
 Izlanayotgan giperbola tenglamasi 
2
2
2
2
1
y
x
b
a


 koʻrinishda. Masala 
shartidan 
2
10,
c

 
5;
c

 
2
8,
b

 4.
b
  
2
2
2
c
a
b

  munosabatdan foydalanib, 
kichik yarim oʻq  a  ni topamiz: 
 
 
 Izlanayotgan 
giperbola tenglamasi 
  
11.46. 
 Giperbolaning kanonik tenglamasini tuzing, agar: 
1) 
   
   2)     
 
3) 
 asimptotalar tenglamalari 
 boʻlsa. 
11.47. 
 Giperbolaning kanonik tenglamasini yozing, agar: 
1) 
 va asimptota tenglamasi 
  
2) 
 va direktrisalari orasidagi masofa   ga teng; 
3) 
 va 
 nuqta giperbolada yotgan boʻlsa. 
2
25
16,
a


2
9,
a

3.
a

2
2
1.
16
9
y
x


2
10,
c

3;
a

3,
c

1,5;


6,
b

5
3
y
x
 
10
c

4
;
3
y
x
 
1,5


8
3
2




3; 2
M

 
57 
11.48.  
  parabola berilgan. Parabolaning fokusi koordinatalarini, 
direktrisasi tenglamasini, 
 nuqtadagi fokal radiusi uzunligini toping.  
Yechish.
 Parabola 
 koʻrinishidagi kanonik tanglamasi bilan berilgan. 
Shuning uchun, 
 
 
 formuladan fokusi 
 koordinataga 
ega, 
 formuladan direktrisa tenglamasi 
 
 nuqtadagi fokal 
radiusi 
 ga teng.  
11.49. 
 
Parabolaning quyida berilgan tenglamasi boʻyicha uning fokusi 
koordinatalarini, direktrisasi tenglamasini toping: 
1. 
   2. 
 
3. 
   4. 
 
11.50. 
 
 nuqta berilgan. Diametri 
 kesma boʻlgan aylana tenglamasini 
tuzing. 
11.51. 
 
 nuqtadan oʻtuvchi va 
 oʻqiga koordinatalar boshida urinuvchi 
aylana tenglamasini tuzing. 
11.52. 
 
 aylananing 
 oʻqi bilan kesishgan nuqtalariga 
oʻtkazilgan radiuslari orasidagi burchak topilsin. 
11.53. 
 Katta yarim oʻqi 
 va   parametri 1) 4,8;   2) 4;   3) 3;   4) 1,4;   5) 0. 
Bo‘lgan ellipsni kanonik tenglamasini yozing. Har bir ellipsni chizing va ularning 
ekstsentrisitetini toping. 
11.54. 
 Yer fokuslaridan birida Quyosh joylashgan ellips boʻyicha harakat qiladi. 
Quyoshdan Yergacha boʻlgan eng kichik masofa taxminan 147,5 million km ga, 
eng katta masofa 152,5 million km ga teng boʻlsa, Yer orbitasining katta yarim 
oʻqi va ekssentrisiteti topilsin. 
11.55. 
 Ekssentrisiteti 
  boʻlgan va 
 nuqtadan oʻtuvchi ellips 
tenglamasini yozing va 
 nuqtaning fokal radius-vektorlarini toping. 
11.56. 
 
 ellipsda shunday 
 nuqta topilsinki, undan oʻng 
fokusgacha boʻlgan masofa chap fokusgacha boʻlgan masofadan 4 marta katta 
boʻlsin. 
11.57. 
 Agar ellipsning fokuslari orasidagi masofa uning katta va kichik yarim 
oʻqlarining uchlari orasidagi masofaga teng boʻlsa, uning ekstsentrisiteti topilsin. 
2
4
x
y

 
4; 4
M
2
2
x
py

2
4,
p

2.
p

0;
2
p
F 





 
0; 1
2
p
y
 
1;
y
 
 
4; 4
M
4 1 5
2
p
r y
    
2
12 ;
y
x

2
5 ;
x
y
 
2
4 ;
y
x
 
2
14 .
x
y



4; 6
A

OA


6; 0
A

Oy
2
2
4
6
0
x
y
x
y




Oy
5
a

c
3
4




4; 21
M

M
2
2
9
25
225
x
y




;
M x y

 
58