M ustaqil ishi

2.4.2-Teorema. G gruppa bo’lib H va K uning qism gruppalari bo’lsin. Unda (1) H ∩ K normal qism gruppa bo’ladi;


Isbot.
(i) Qism gruppalar kesishmasi H ∩ K qism gruppani tashkil qiladi.g∈Gvaa ∈ H ∩ K elementlar uchun gag−1 ∈ g(H ∩ K)g−1 ni qaraymiz.a∈H∩Kbo’lganligi uchun a ∈ H va a ∈ K bo’ladi. H va K normal qism gruppalar bo’lganligi tufayli gag−1 ∈ H va gag−1 ∈ K ekanini hosil qilamiz. Bundan esa gag−1 ∈ H ∩ K bo’lishi kelib chiqadi. Demak g(H ∩ K)g−1 ∈ H ∩ K bo’ladi.
2.4.1-teoremaga asosan H ∩ K normal qism gruppani tashkil qiladi.
(ii) HK = KH ekanligi H va K qism gruppalar normal bo’lganligi ta’rifidan kelib chiqai. Ya’ni h ∈ H, k ∈ K elementlar uchun hk ∈ HK bo’lib, K normal
qism gruppa bo’lganligi tufayli hK = Kh ekanligiga ega bo’lamiz. Bundan
tashqari hk ∈ hK = Kh bo’lib kH ⊆ KH ligidan hk ∈ KH bo’ladi. Shuning
uchun HK ⊆ KH bo’ladi. Huddi shunday KH ⊆ HK ekanligini hosil qil-
ishimiz mumkin. Demak HK = KH bo’ladi. 2.1.6-teoremaga ko’ra HK qism
gruppaligi kelib chiqadi. H va K qism gruppalar normal bo’lganligidan ixtiy-
oriy a ∈ G element uchun gHg−1 ⊆ H va gKg−1 ⊆ K bajariladi. Quyidagi
ifodadan

HK normal qism-guppa bo’lishligi kelib chiqadi.

(iii) 2.1.7-teoremaga ko’ra HK = 〈H ∪ K〉 ekanligini hosil qilamiz.
G gruppaning H va K qism gruppalari uchun HK har doim ham bu gruppanig
qism gruppasi bo’lavermaydi. Yuqoridagi teoremada esa G gruppaning H va K normal qism gruppalari uchun HK har doim normal qism gruppa bo’lishligi ko’rsatildi.
Endi e’tiborimizni factor gruppa va uning xossalariga qaratamiz.
2.4.3-Teorema. G gruppa bo’lib H uning normal qism gruppasi bo’lsin. Un-
ing barcha chap qo’shni sinflar to’plamini G/H = {aH | a ∈ G} orqali belgilab,
aH, bH ∈ G/H elementlar uchun ∗ - binar amalni quyidagicha aniqlaylik
(aH) ∗ (bH) = abH.
U holda (G/H, ∗) gruppa tashkil qiladi.
Isbot. Dastlab (G/H, ∗) algebraik struktura bo’lishini ko’rsataylik.
aH, bH, a′H, b′H ∈ G/H bo’lsin. Agar aH = a′H va bH = b′H bo’lsa, aH ∗ bH =
a′H ∗b′H ya’ni abH = a′b′H ekanligini ko’rsatishimiz kerak. aH = a′H va bH = b′H
tengliklardan ba’zi bir h1, h2 ∈ H elementlar uchun a = a′h1 va b = b′h2 kelib
chiqadi. Quyidagi tenglikdan

H normal qism gruppaligidan b′−1h1b′h2 = (b′−1h1b′)h2 ∈ H bo’ladi. Shuning uchun (a′b′)−1(ab) ∈ H bo’lib 2.3.1-teoremaga asosan abH = a′b′H bo’ladi.

Assosiativlik sharti esa aH, bH, cH ∈ G/H elementlar uchun
(aH)∗[(bH)∗(cH)] = (aH)∗(bcH) = a(bc)H = (ab)cH = (abH)∗(cH) = [(aH)∗(bH)]∗(cH) tengliklardan kelib chiqadi. Endi eH ∈ G/H va ixtiyoriy aH∈G/H elementlarni qarsak, quyidagi tengliklardan
(eH) ∗ (aH) = eaH = aH = aeH = (aH) ∗ (eH)
eH birlik element ekanligini hosil qilamiz. Ixtiyoriy aH ∈ G/H uchun a−1H ∈G/Hteskari element ekanligini ko’rish qiyin emas. Demak (G/H, ∗) gruppa tashkil qiladi.
G/H bo’yicha factor gruppasi deyiladi.