M ustaqil ishi

2.4.2-Misol. (Z, +) gruppaning (nZ, +) qism gruppasini qaraylik. Z kommutativ bo’ganligi uchun nZ uning normal qism gruppasi bo’ladi. Z/nZ dagia+nZ,b+nZelementlar uchun yig’indini quyidagicha aniqlasak

(a + nZ) + (b + nZ) = (a + b) + nZ

(Z/nZ, +) gruppa tashkil qiladi va uning elementlari

Z/nZ = {0 + nZ, 1 + nZ, . . . , n − 1 + nZ}

dan iborat bo’ladi.

2.4.3-Misol. Z8 gruppani va uning normal qism gruppasi H = {0, 4} ni qaraylik.

|Z8| = 8 va |H| = 2 ekanligi va Lagranj teoremasiga asosan [Z8 : H] = |Z8/H| = 4
bo’ladi. Ya’ni Z8/H to’rtta elementga ega. Quyidagidan
0 + H = H = 4 + H,
1 + H = {1, 5} = 5 + H,
2 + H = {2, 6} = 6 + H,
3 + H = {3, 7} = 7 + H,
Z/nZ = {0 + H, 1 + H, 2 + H, 3 + H} bo’lishini hosil qilamiz.
2.4.4-Misol. S3 gruppani va uning
H ={e,( 1 2 32 3 1),( 1 2 33 1 2)}
normal qism gruppasini qaraylik. |S3| = 6 va |H| = 3 bo’lganligidan [S3 : H] =|S3/H| = 2 ga ega bo’lamiz. 2.3.1-misolda eH = (1, 2, 3)H = (1, 3, 2)H = H va(2, 3)H = (1, 3)H = (1, 2)H tengliklar ko’rsatilgan edi. DemakS3/H = {H, (2, 3)H}ppalar va faktor gruppalar Endi esa gruppalar tasnifi uchun muhim bo’lgan tushinchni kiitamiz.
2.4.3-Ta’rif. Agar G 6 = {e} gruppaning o’zi va {e} dan boshqa normal qism gruppalari bo’lmasa, u holda G sodda guppa deyildi.
2.4.5-Misol. G tsiklik gruppa bolib uning tartibi p tub sondan iborat bo’lsin.Lafranj teoremasiga ko’ra bu gruppaning o’zi va {e} dan boshqa normal qism gruppalari mavjud emas. Shuning uchun bu tsiklik gruppa sodda gruppa bo’ladi.
Quyida An(n ≥ 5) gruppani sodda ekanligini ko’rsatamiz.
2.4.1-Lemma. H − An(n ≥ 5) gruppaning normal qism gruppasi bo’lib H ning elementlari 3-tartibli tsiklik o’rinlashtirishlardan iborat bo’lsa, u holda H = An boladi.
Isbot. H ning elementlari 3-tartibli tsiklik o’rinlashtirishlardan iborat bo’lsin, ya’ni (a b c) ∈ H. π ∈ Sn o’rinlashtirish (u v w) ∈ An uchun π(a) = u, π(b) =v, π(c) = w ni qanoatlantirsin. Unda π ◦ (a b c) ◦ π−1 = (u v w) bo’ladi. Agar π ∈ An bo’lsa (u v w) ∈ H bo’ladi. Faraz qilaylik π /∈ An bo’lsin. U holda π toq o’rinlashtirish bo’ladi. n ≥ 5 bo’lganligi uchun a, b va c dan farqli d, f ∈ In mavjud.
Hamda π ◦ (d f ) ∈ An bo’ladi. Bundan tashqari
(u v w) = π ◦ (a b c) ◦ π−1 = π ◦ (a b c) ◦ (d f ) ◦ (d f )−1 ◦ π−1
π ◦ (d f ) ◦ (a b c) ◦ (d f )−1 ◦ π−1 = (π ◦ (d f )) ◦ (a b c) ◦ (π ◦ (d f ))−1 ∈ H
bo’ladi. Shuning uchun H barcha 3-tartibli tsiklik o’rinlashtirishdan iborat bo’ladi.
An barcha 3-tartibli tsiklik o’rinlashtirishlar to’plamidan hosil qilinligi uchun An =H bo’ladi.
2.4.4-Teorema. H − An(n ≥ 5) gruppaning normal qism gruppasi bo’lib H
ning elementlari o’zaro qo’shma transpozitsiyalar ko’paytmalaridan iborat bo’lsa, uholda H = An boladi.
Isbot. (a b) va (c d) o’zaro qo’shma transpozitsiyalar bo’lib, (a b) ◦ (c d) ∈ H
bo’lsin. Bundan tashqari w ∈ In va w /∈ {a, b, c, d} hamda π = (c d w) bo’lsin. π−3-tartibli tsiklik o’rinlashtirish bo’lganligi uchun π ∈ An. H − An ning normal qism gruppasi ekanligidan π ◦ (a b) ◦ (c d) ◦ π−1 bo’ladi. Ammo π ◦ (a b) ◦ (c d) ◦ π−1 =(d w) ◦ (a b) ligidan esa (d w) ◦ (a b) ∈ H ni hosil qilamiz. H qism gruppa bo’lganligi sababli quyidagiga ega bo’lamiz
(c d w) = (a b) ◦ (c d) ◦ (d w) ◦ (a b) ∈ H.
Demak H ning elementlari 3-tartibli tsiklik o’rinlashtirishlardan iborat. 2.4.1-lemmaga asosan H = An bo’ladi.
2.4.5-Teorema. An(n ≥ 5) sodda gruppa bo’ladi.
Isbot. H − An gruppaning normal qism gruppasi va H 6 = {e} bo’lsin. e 6 =
π ∈ H− o’rinlashtirish eng kichik sondagi elementlarni o’rnini almashtirsin va uni m bilan belgilaylik. U holda m ≥ 3 bo’ladi. m = 3 bo’lganda 2.4.1-lemmaga ko’ra H = An b ’lib An sodda gruppa ekanligi kelib chiqadi. Natijada m > 3 holatni ko’ramiz. π o’rinlashtirishni qo’shma tsikllar ko’paytmasi shaklida yozaylik

π = π1 ◦ π2 ◦ · · · ◦ πk.

Faraz qilaylik barcha πi almashtirishlar barcha 1 ≤ i ≤ k uchun transpozitsiyalar bo’lsin. U holda k ≥ 2 bo’ladi. π1 = (a b), π2 = (c d) va f ∈ In uchun f /∈