Mahmudovavaning matematika kursini takrorlash fanidan mustaqilish I

qi		q1	q2		qk-2	qk-1	qk	
qn
Ri	P0q1	P1qq1	P2		Pk-2	Pk-1	Pk		Pn
Qi	Qoq0	Q1q1	Q2		Qk-2	Qk-1	Qk		Qn

Misol. 1-misolda edi. ni hisoblaylik:

qi		2	3	1	4	2
Pi	P0q1	2	7	9	43	95
Qi	Q0q0	1	3	4	19	42

.
Endi munosib kasrlarning xossalarini karaymiz.
1⁰. Agar deb olsak, (5) dan

bu erdan qisqarmas kasr degan xulosaga kelamiz, chunki
(R_k, Q_k)q1
2⁰.
Haqiqatan ham
.
Bu erda 2 ta qushni munosib kasr orasidagi mosafa

Shuni ham ta’kidlash kerakki irratsional sonlarni ham uzluksiz kasrga yoyish mumkin, lekin bu yoyilmadagi chala bulinmalar soni cheksiz buladi.
Ta’rif. Ushbu
(1)
(ai(iq ),bj(jq ) butun sonlar) kurinishdagi ifoda uzluksiz zanjir kasr deyiladi. Agar (1) da b1qb2q ... qbkql, a0-butun son, a1, a2, ...,ak-natural sonlar bulib ak>1 bulsa, u xolda ushbu
(2)
ifodani chekli zanjir kasr deyiladi.
a0, a1,a2, ..., ak sonlar chekli zanjir kasrning elementlari deyiladi, (2) ni kiskacha (a0, a1, a2, ...,ak) yoki kurinishlarda xam belgilanadi.
Teorema. Xar kanday ratsional con chekli zanjir kasrga yoyiladi va bu yoyilma yagona buladi.
Isboti. (n1) ratsional son berilgan bulsin. m ni n ga koldikli bulamiz va Evklid algoritmidan foydalanamiz, ya’ni

mqnq1Qr1 (0
nqr1q2Qr2 (0r1qr2q2Qr3 (0-- -- - - - - - - - - - - -
rk-2qrk-1qkQrk (0rk-1qrkqrQ1

cistemaga ega bulamiz. (3) dagi tengliklarning xar ikki kismini mos ravishda n, r1 , r2...,rk-1,rk larga ketma-ket bulib kuyidagi tengliklarni xosil kilamiz:

(4)
(4) sistemadagi tengliklardan

(qkQ1>1) (5)
ifodani xosil kilamiz. (5) ifoda (n1) ratsional sonning chekli zanjir kasrga yoyilmasi buladi. Bu yoyilmaning yagonaligini isbotlashni mustakil ish uchun ajratamiz.
(5) da kuyidagi 3 xol bulishi mumkin:

1. 
   m>n bulsa, q1>0 buladi;
   

2. m3. m<0 bulsa, nisbatni (t>0) kurinishda yozib olamiz.Bu erda tu²ri musbat kasr son buladi. Natijada yoyilma xosil buladi.
Xar kanday butun sonni bir bulakli uzluksiz kasr deb karash mumkin.
Masalan, 5q(5). (a > 1) kurinishdagi kasrni ikki bulakli uzluksiz kasr deb karash mumkin.
Agar (5) ifodada qkQ1>l bulsa, u xolda ratsional sonning chekli zanjir kasrga yoyilmasi yagona buladi. Agar (5) da qkQ1>l shart kuyilmagan bulsa, u xolda qkQ1q(qkQ1-1)Q tenglikka asosan yozish mumkin. Bu tenglikning ung tomonidagi yoyilma bulaklar soni bilan chapdagi yoyilma bulaklari soni teng emas.
Misol. sonini chekli zanjir kasrga aylantiring.
Echish. 55q163Q7,
16q72Q2,
7q23Q1,
2q12Q0.
Demak, buladi.
bulsin.
A0qa0 deb olaylik. U xolda buni nolinchi tartibli munosib kasr deyiladi.
birinchi tartibli munosib kasr deyiladi.
ikkinchi tartibli munosib kasr deyiladi.
........................................................................
AnqT esa n-tartibli munosib kasr deyiladi.
deb belgilaylik. U xolda R0qa0, Q0ql xosil buladi;
desak, u xolda R1qa0a1Q1,Qqa1 xosil buladi;
- ikkinchi tartibli munosib kasr;
........................................................................
AnqTq n- tartibli munosabat kasr.
Shu yul bilan
R0,R1,R2,... (6)
Q0,Q1,Q2,... (7)
ketma-ketliklarni xosil kilamiz. Bu ketma-ketliklardan kuyidagi rekurrent formulalarni xosil kilamiz:

RkqPk-1akQRk-2, (8)

QkqQk-1 akQQk-2. (9)
Teorema. . (10)
(10) tenglikni matematik induktsiya printsipi asosida isbot kilamiz.
1. kq0 bulsin. U xolda A0q bulib, (10) munosabat tu²ri buladi.
2. Faraz kilaylik (10) tenglik k uchun tu²ri bulsin. Uning kQ1 uchun tu²riligini isbot kilaylik.
Isboti.



Demak, (10) munosabat urinli ekan.
tartibli munosib kasr deyiladi. Rk-k–tartibli munosib kasrning surati ,Qk –k- tartibli munosib kasrning maxraji deyiladi.
R-2q0, R-1q1, Q-2q1,Q-1q0 deb belgilaylik. Lekin ularning uzi ma’noga ega emas. Yukoridagi tushunchalardan kuyidagi jadvalni tuzamiz:

k	-2	-1	0	1	2	...	n-1	n
Ak	-	-	a0	a1	a2	...	an-1	an
Pk	0	1	P0	P1	P2	...	Pn-1	Pn
Qk	1	0	Q0	Q1	Q2	...	Qn-1	Qn

Bu jadvalda xonalar (8) va (9) formulalar orkali tuldiriladi.

Misol. ni toping.
Echish. a0 q2,a1qa2qa4q1, a3q3, a5q2, aq?, bq?

k kK			0	1	2	3	4	5
ak			2	1	1	3	1	2
Rk	0	1	2	3	5	18	23	64
Qk	1	0	1	1	2	7	9	25

Bu jadvaldan kurinadiki, ekanligi. Shu sababli aq64, bq25 bulib, buladi.

Teorema.
RkQk-1-Pk-1Qkq(-1)k-1 (11)
tenglik k ning xar kanday kiymatida tu²ri buladi.
(11) tenglikning rostligini matematik induktsiya printsipi asosida isbot kilamiz.
1. kql bulsin. U xolda R1Q0-P0Q1q(a0a1Q1)1-a0a1q1q(-1)1-1 bulib, (11) munosabat rost buladi.
2. Faraz kilaylik (11) munosabat k uchun rost bulsin. (11) ning kQ1 uchun rost ekanligini isbot kilaylik, ya’ni RkQ1 Qk- PkQkQ1 q(-1)k bulishini isbot kilaylik
Isboti. RkQ1Qk-PkQkQ1q(PkakQ1QPk-1)Qk-Pk(QkakQ1QQk-1)q
qPkQkakQ1QPk-1Qk-PkQkakQ1-PkQk-1q-(PkQk-1-Pk-1Qk)q
q-(-1)k-1 q(-1)kq(-1)kQ1-1.
Demak, (11) tenglik bulgan rost ekan.
Teorema. munosib kasrning surati bilan maxraji uzaro tub, ya’ni (Rk;Qk)q1 buladi.
Isbot. Faraz kilaylik (Rk;Qk) d bulib d>1 bulsin.
U xolda Rk:d,Qk:d buladi. Bulinish munosabati xossalariga kura Rk Qk-1:d,Pk-1Qk:d munosabatlarni e’tiborga olsak (11) tenglikdan (RkQk-1-Pk-1Qk):d ya’ni
(-1)l-1 :d bulib, bu munosabat esa fakat dq1 bulganda urinli buladi. Demak, (Rk;Qk)q1 buladi.
Bu teoremadan kurinadiki, munosib kasr kiskarmas kasr ekanligi.
ratsional son zanjir kasrga kurinishda yoyilgan bulsin. kiskarmas kasr bulib, buladi. (a;b)q1
Adabiyotlar:

1. 
   I.M.Vinogradov «Sonlar nazariyasi asoslari». Toshkent. 1967., M. «Nauka», 1983
   
2. 
   A.A.Buxshtab. «Teoriya chisel». M. «Prosveheniya»,1967 g.
   
3. 
   Sh.X.Mixelovich. «Teoriya chisel». M. «Vusshaya shkola», 1967
   
4. 
   A.A.Karatsuba. Vvedeniya v analiticheskuyu teoriyu chisel. M. Nauka, 1983 g.
   
5. 
   M.Isroilov, A. Soliev. «Sonlar nazariyasiga kirish». Toshkent. Fan nashriyoti. 2003 y.
   
6. 
   www.ziyonet.uz