Mamirov Xusanning Kvaternionlar halqasi va uning tatbiqlari

Bilimingizni tekshirib ko`ring

№	MULOHAZA	mulohaza to’g’ri	mulohaza noto’g’ri	mulohaza doim o’rinli emas
	Kvaternionlar algebrasi bo’linishga ega bo’lgan haqiqiy sonlar maydonining kengaytmasini tashkil etadi.
	Har qanday a natural son uchun tenglikni qanoatlantiruvchi n natural son mavjud.
	Har qanday a,b natural sonlar uchun munosabat o’rinli.
	r={(x,y)|x,yÎR,½x‌½‌=½y‌½} munosabat tartib munosabati bo’ladi.
	Har qanday c natural son uchun tengsizlik o’rinli bo’ladi.
	Z butun sonlar to’plamida x^2=2y^2 tenglama yagona yechimga ega.

1. Kvaternion sonlar halqasida algebraning asosiy teoremasi

Ma’lumki algebraning asosiy teoremasidan kelib chiqadi-ki, kompleks sonlar maydoni ustida qaralgan n-darajali ( ) ixtiyoriy koʻphad barcha karrali ildizlarini qoʻshib hisoblaganda kompleks sonlar maydoni ustida aynan n ta ildizga ega. Algebraning asosiy teoremasi koʻphadlar nazariyasida asosiy oʻrin egallaydi va bu teorema bir qancha tadbiqlarga ega. Ushbu kurs ishida algebraning asosiy teoremasini kvaternion sonlar halqasi ustida qaraymiz, ya’ni aniqroq aytadigan boʻlsak yuqorida ta’kidlangan natija kvaternion sonlar halqasida oʻrinli boʻlish yoki boʻlmasligiga aniqlik kiritamiz.

Yuqorida aniqlangan amallarga nisbatan kvaternion sonlar toʻplami kommutativ bo‘lmagan halqa hosil qiladi. Bu halqada quyidagi tenglamani qaraylik.
1) tenglamani yeching.
Bu tenglamani yechish uchun noma’lumni koʻrinishida izlaymiz. Tenglamadagi ning joyiga ifodani qoʻyib, zarur soddalashtirishlarni bajarsak, berilgan tenglama tenglamaga teng kuchli bo‘ladi. Bundan
sistemaga ega boʻlamiz. Bu sistemani yechishda quydagi hollar yuzaga keladi:

2) .
1-holni qarasak, tenglamalar sistemasiga ega boʻlamiz. Koʻrinib turibdiki, bu sistema cheksiz koʻp yechimga ega va bu yechimlar toʻplami birinchi koordinatasi nol, qolgan uchta koordinatasi markazi nol nuqtada bo‘lgan va radiusi birga teng sfera sirtida yotuvchi nuqtalarning geometrik oʻrnini tasvirlaydi. Endi 2-holni qaraydigan boʻlsak, sistemaga ega boʻlamiz. Bundan R⁴ ning va nuqtalari 2-sistemaning yechimi bo‘ladi. Ammo, bu nuqtalar tenglamani qanoatlantirmaydi. Demak, 1-holda olingan barcha yechim berilgan tenglamaning yechimi sifatida qoladi.
Xulosa qilib shuni aytish mumkin-ki, algebraning asosiy teoremasidan kelib chiqadigan n-darajali ( ) ixtiyoriy koʻphad barcha karrali ildizlarini qoʻshib hisoblaganda aynan n ta ildizga ega degan natija kvaternion sonlar halqasida o‘rinli emas.
Mustaqil ishlash uchun misollar
1. Agar =a+bi+cj+dkK ixtiyoriy kvaternion bo’lsa, u holda tenglik bajarilishini ko’rsating.
2. va  kvaternionlar uchun quyidagi tengliklar bajarilishini ko’rsating:
1) +
2)