Mamirov Xusanning Kvaternionlar halqasi va uning tatbiqlari

Kvaternionlar ustida bo‘lish amali:
Kvaternionlar ko‘paytmasi nokommutativligidan ni ga bo‘lishdagi bo‘linmani chap ko‘paytma o’ng ko’paytma tenglamalar yechimi ko‘rinishida ifodalash mumkin. Bunda chap bo‘linma
= ,
o‘ng bo‘linma = ko‘rinishni egallaydi.
Misollar:

1)
2)
Kvaternionlar to‘plami to‘rt o‘lchovli algebraning barcha xususiyatlariga ega (bazis birliklar soniga qarab), unda haqiqiy songa ko‘paytirish, kvaternionlarni qo‘shish va ko‘paytirish amallari aniqlanadi.Bu algebra ko‘p tomonlama haqiqiy va kompleks sonlar algebrasiga yaqin.
Bu algebra qo‘shish va ko‘paytirish amallariga nisbatan assotsiativ, distributiv, birlik elementga ega (haqiqiy bir soni); unda ayirish va bo‘lish amallari aniqlangan va unda to‘rt kvadrat ayniyati bajariladi.
Biroq kvaternionlar algebrasi kichik o‘lchamli algebralardan katta farq qiladi. U ko‘paytirish amaliga nisbatan kommutativ emas, shuning uchun yuqori darajali xususiyatlariga qaramay kvaternionlar to‘plami maydon hosil qilmaydi, balki bo‘linmali nokommutativ halqali obekt sanaladi.
Ba’zi hollarda “nokommutativ maydon” nomini ham uchratish mumkin.
Kvaternionlar algebrasini ajratib turuvchi muhim qirralardan birishundaki, u birli va bo‘linmali assotsiativ algebra o‘lchamlari sonidan oxirgisihisoblanadi.1878–yili nemis matematigi G.Frobenius quyidagi ajoyib teoremani isbotladi:
Frobenius teoremasi
“Har qanday bo‘linmali assotsiativ algebra uchun algaebralardan biri:
haqiqiy sonlar algebrasi, kompleks sonlar algebrasi va kvaternionlar algebrasi
bilan izomorfdir”.
Oktav–giperkompleks sonlar algebrasida o‘lchamlar bo‘yicha keyingisi 8 birlikka ega assotsiativ ko‘paytma yo‘qotilib, uning o‘rnini analog–alternativlik egallaydi.
Biroq oktav algebrasi ham normallashuvchi hisoblanadi: unda kvadratlar yig‘indisi ayniyati mavjud. Aynan shunday ayniyatni izlash ingliz matematigi A.Kelini oktavlar algebrasini kashf etishiga sababchi bo‘ldi.Ma’lum bo‘ldiki, kvadratlar yig‘indisi ayniyati bajariladigan yanada kata o‘lchamli algebralar mavjud emas. Bu 1898–yili nemis matematigi A.Gurvitsem tomonidan quyidagi teorema orqali isbotlangan:“Har qanday normallangan algebra quyidagi algebralar bilan izomorf:
Haqiqiy sonlar, kompleks sonlar, kvaternion va oktav”.Oxirgi to‘rt algebra, ularning o‘lchamlarini 2 asosga ega ko‘rsatkichli qator yordamida aniqlash mumkin:

Algebra	Algebra o‘lchami n=	P daraja ko‘rsatkichi
Haqiqiy sonlar		0
Kompleks sonlar	2	1
Kvaternionlar	4=	2
Oktavalar	8=	3

Yana bir formali vaziyatni eslatib o‘tish mumkin. Kvaternionlar algebrasi umumiy matematik konstruksiya–klifford algebrasining xususiy holi sifatida ko‘rilishi mumkin.So‘ngisi birliklarni tashkil etuvchi natural sonlardan tuziladi, juft ko‘paytmalarning yarim yig‘indisi algebra o‘lchami tartibining birlik matritsasidir . Shu nuqtai nazardan kelib chiqqan holda kvaternionlar algebrasi ikki o‘lchovli klifford algebrasidir.

Bu yerda yasovchilar sifatida ikkita ixtiyoriy mavhum birlik olinadi; qolgan birliklar yasovchilarning erkli ko‘paytmasi sifatida aniqlanadi.
Adabiyotlarda kvaternionlar algebrasi H yoki R H orqali belgilanadi (kvaternion birliklar oldidagi koeffitsientlar haqiqiyligi ta’kidlanadi). Ba’zan Q bilan ham belgilanadi.
R maydon ustidagi kvaternionlar algebrasi K bo‘lsin. K - R maydon ustidagi to‘rt o‘lchovli vektor fazo va uning bazisi.
chiziqli algebra