Маъруза 5 Мавзу: Текис тупламларнинг улчови

Download 90.27 Kb.

bet	1/3
Sana	28.04.2020
Hajmi	90.27 Kb.
	#102058

1 2 3

Bog'liq
Текис тупламларнинг улчови

Маъруза 5
Мавзу: Текис тупламларнинг улчови.

_Режа:

_{1. Элементар тупламларнинг улчови.}

_{2. Текис тупламларни Лебег улчови.}

_{3. Баъзи кушимча ва умумлаштиришлар.}
_{А тупламнинг}__{(А) улчови тушунчаси куйидаги тушунчаларни тугридан тугри умумлашмасидир.}

__{кесманинг}_l₍__{) узунлигини;}

_F_{фигуранинг}_S₍_A_{) юзини;}

_G_{жисмнинг}_V₍_G_{) хажмини;}

_[_a_,_b_{)-ярим интервалдаги камаювчи}_₍_t_{) функциясининг}_₍_b_)-_₍_a_{)орттирмасини;}

_{Манфиймас функциянинг бирор чизикли текис, ёки фазовий сохасидаги интеграли ва хоказолар.}

_{Текисликда координаталири (х, у) лар булиб, ушбу тенгсизликлардан бирор жуфтлигини каноатлантирувчи}_G_{-тупламлар системасини караймиз.}

_a__x__{b, a}__{x < b, a < x}__{b, a < x < b,}

_c__y__{d, c}__{y < d, c < y}__{d. c < y < d}

_{Бу системага кирувчи тупламларни тугри туртбурчаклар деймиз. Текисликдаги барча тугри туртбурчаклар тупламини}_G_{билан белгилаймиз. Хар бир тугри туртбурчак учун элементар геометриядан маълум юза тушунчасига кура унинг юзини куйидагича аниклаймиз.}

_{А) Буш тупламнинг юзи нолга тенг.}

_{В) Очик, ярим очик, ярим ёпик, ёпик тугри туртбурчакларнинг юзи}₍_b_-_a₎₍_d_-_c₎_{га тенг.}

_{Шундай килиб, текисликдаги барча тугри туртбурчакларни юзини аникладик. Демак, текисликдаги ихтиёрий Р тугри туртбурчакга унинг улчови}_m₍_P_{) мос куйилди ва у куйидаги хоссаларга эга.}

₁₀_._m₍_P_{) улчов хакикий номанфий кийматларни кабул килади.}

_20._m₍_P_{) улчов аддитив, яъни агар булади.}

_{Бизнинг максадимиз шу 10, 20хоссаларни саклаган холда тугри туртбурчаклар учун аникланган улчовни бошка умумийрок тупламларга таркатишдир.}

_{Буни аввало элементар тупламлар учун киламиз.}

_{Таъриф.}_{Агар бирор тупламни хеч булмаганда битта усул билан чекли сондаги узаро кесишмайдиган тугри туртбурчаклар йигиндиси куринишида ёзиш мумкин булса бундай тупламни элементар туплам дейилади.}

_{Теорема 1.}_{Элементар тупламларнинг йигиндиси, кесишмаси, айримаси ва симметрик айримаси яна элементар туплам булади.}

_{Исботи: Иккита тугри туртбурчакнинг (бизнинг маънодаги) кесишмаси яна тугри туртбурчак булиши равшан. Шунинг учун агар элементар тупламлар булса, у холда уларнинг кесишмаси элементар туплам булади. Худди шунингдек икки тугри туртбурчакларнинг айримаси хам элементар туплам булади. Энди А ва В элементар тупламлар булса, уларни кесишмасини уз ичига олувчи Р тугри туртбурчак мавжудлигини куриш кийин эмас. У холда А}__В__Р/[(Р/А)__{(Р/В)] булади. Бу эса А}__{В элементар туплам деганидир. Бундан ва А/В}__А__{(Р/В) тенглигидан хамда А}__В__(А__В)/(А__{В) га кура А}__{В ни элементар тупламлиги келиб чикади.}

_{Элементар тупламнинг улчови}_m_’(_A_{) ни куйидагича аниклаймиз. Агар}_Pi_{лар узаро кесишмайдиган тугри туртбурчаклар ва булса}_{деймиз.}_m_’(_A_{) ни А элементар тупламни чекли тугри туртбурчаклар йигиндисига боглик эмаслигини исботлаймиз.}

_{булсин. Бу ерда Р}_i__Pk__,_Qi__Qk__,_i__k_{. Р}_k__Qk__{тугри туртбурчаклар}_{кесишмаси яна тугри туртбурчаклар булганлиги учун ва улчовнинг тугри туртбурчаклар учун аддитивлигига кура . Бундан куринадики элементар тупламлар учун аникланган улчов аддитив улчов экан.}

_{Теорема 2.}_{Агар А элементар туплам булиб, {}_An_}_{система А}_n_{элементар тупламларнинг чекли ёки санокли системаси ва булса, у холда булади.}

_{Исботи: Берилган А туплам ва}__{>0 учун шундай А’ ёпик элементар туплам мавжудки у А да ётади ва}

_m_’(_A_’)__m_’(_A_{)-0, 5}__{шартни каноатлантиради. Сунгра}__An_{учун шундай очик элементар}_An_{ни уз ичига олувчи ва шартни каноатлантирувчи туплам топиш мумкин. эканлиги равшан. Гейнс-Борель леммасига кура ни копловчи чекли коплама ажратиб олиш мумкин. Бунда эканлиги равшан. Шунинг учун, . Бундан ва}__{нинг ихтиёрийлигидан}

Download 90.27 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:

1 2 3

Маъруза 5 Мавзу: Текис тупламларнинг улчови

Маъруза 5 Мавзу: Текис тупламларнинг улчови.

Маъруза 5
Мавзу: Текис тупламларнинг улчови.