Ma’ruza matni. 1-usul. Bir ko’paytmaning ko’payuvchisini ikkita sonning bo’linmasi shaklida ifodalanishi

Ma’ruza-5

Mavzu: Nomanfiy butun sonlar ustida arifmеtik amallar bajarishning og`zaki usullari.

Ma’ruza rejasi:

1. 
   Ko`paytirishning qulay usullari.
   
2. 
   Bo`lishning qulay usullari.
   

Ma’ruza matni.

1-usul. Bir ko’paytmaning ko’payuvchisini ikkita sonning bo’linmasi shaklida ifodalanishi. Bir ko’paytmaning ko’payuvchisini ikkita sonning bo’linmasi shaklida ifodalanishi uchun, ikkinchi ko’paytmani kamayuvchi va ayriluvchiga ko’paytiriladi,keyin ko’paytmaning ayirmasi topiladi.

Berilgan usul qator qoidalarni ifodalashga imkon beradi.

1 - qoida. 9 (99, 999)ga ko’paytirish. Sonni 9 (99, 999)ga ko’paytirish uchun, uni 10 (100, 1 000) marta oshirish va olingan natijadan sonning o’zini ayirish kifoya.

Isbot. a — berilgan son bo’lsin. 9 ga ko’paytirish qoidasiiga asoslanib, а 10 – а ifodasi sodda а 9 shakliga ega bo’ladi. Demak, а 9 = а 10 - а. Shuni isbotlash talab qilingan edi.

99 va 999 ga ko’paytirish qoidalari o’xshash isbotlanadi.

Misol.

а) 87 9 = 87 10 - 87 = 870 - 87 = 783;

b) 469 99 = 469 100 - 469 = 46 900 – 469=46431;

c) 3 726 999 = 3 726 1 000 - 3 726 = 3 726 000 - 3 726 = 3 722 274.

-1(n 4) ga ko’paytirish qoidalarini huddi shunday ifodalash va isbotlash mumkin.

9, 99 va 999 ga ko’paytirishning yana boshqa qoidalari mavjud.

2-qoida. 9 ga ko’paytirish. Sonni 9 ga ko’paytirish uchun, shu sondan uning o’nliklar sonini birga oshirib ayirish, va hosil bo’lgan ayirmaga uning birdan o’ngacha raqamining to’ldiruvchisini qo’shib qo’yish kifoya.

Isbot. 10 а + b — berilgan son bo’lsin. ((10 а + b)-(а+1)) 10 + 10 – b ifodasi, qoidaga asoslanib sodda 9 (10 а + b) shakliga ega bo’ladi. Demak, (10 а +b) 9 = ((10 а + b) - (а +1)) 10+10 - b. Shuni isbotlash talab qilingan edi.

Misol. 176 9 = (176 - 18) 10 + (10 - 6)= 158 10 + 4 = 1 584.

3-qoida. 99 ga ko’paytirish. Sonni 99ga ko’paytirish uchun, shu sondan uning yuzliklar sonini birga oshirib ayirish va shu sonni oxirgi 2 ta raqamidan hosil bo’lgan songa uni yuzgacha bo’lgan to’ldiruvchisini qo’shib qo’yish kifoya.

Isbot. 100а + 10b + с — berilgan son bo’lsin. ((100а + 10b + с) - (а + 1)) 100 + (100 – 10b - с) ifodasi, qoidaga asoslanib sodda, 99 (100а + 10b + с) shakliga ega bo’ladi. Demak, (100а + 10b + с) 9 = ((100а + 10b + с) - (а + 1)) 100 + (100 – 10b - с). Shuni isbotlash talab qilingan edi.

Misol. 462 99 ifodaning qiymatini toppish uchun quyidagilarni amalga oshiramiz:

1. 
   Berilgan sondan yuzliklar sonini 1 ga oshirilganidan ayiramiz : 462 - 5=457;
   
2. 
   Berilgan sonning oxirgi 2 ta raqamidan tashkil topgan to’ldiruvchisini 100 gacha to’ldiramiz: 100 - 62 = 38;
   
3. 
   Avvalgi natijaga to’ldiruvchini qo’shib qo’yamiz va javobga ega bo’lamiz: 462 99 = 45 738.
   

4-qoida. 999 ga ko’paytirish. Sonni 999ga ko’paytirish uchun, shu sondan uning mingliklar sonini birga oshirib ayirish va shu sonni oxirgi 3 ta raqamidan hosil bo’lgan songa uni minggacha bo’lgan to’ldiruvchisini qo’shib qo’yish kifoya.

Qoidaning isboti 3.13 va 3.14 qoidalarga o'xshash.

Misol. 2 453 999 ifodaning qiymatini topish uchun quyidagilarni amalga oshiramiz:

1) Berilgan sondan mingliklar sonini 1 ga oshirilganidan ayiramiz: 2 453 - (2 + 1) = 2 450;

2) Berilgan sonning oxirgi 3 ta raqamidan tashkil topgan to’ldiruvchisini 1000 gacha to’ldiramiz: 1 000-453 = 547;

3) Avvalgi natijaga to’ldiruvchini qo’shib qo’yamiz va javobga ega bo’lamiz: 2 453 999 - 2 450 547.

- 1 (n 4) ga ko’paytirish qoidalarini huddi shunday ifodalash va isbotlash mumkin.

5-qoida. 98 (97, 96) ga ko’paytirish. Sonni 98 (97, 96) ga ko’paytirish uchun, uni yuzga ko’paytirish va hosil bo’lgan natijadan sonni ikkilanganini (uchlanganini,to’rtlanganini) ayiramiz.

Isbot. а — berilgan son bo’lsin. а 100 - 2 а ifodasi, qoidaga asoslanib sodda, а 98 shakliga ega bo’ladi. Shu kabi: а 100 - 3 а = а (100 - 3) = а 97; а 100-4 а =а(100-4) = а 96. Demak, а 98 = а 100-2 а, а 97 = а 100-3а, а96 = а 100 - 4а. Shuni isbotlash talab qilingan edi.

Misol, а) 523 98 = 523 100 - 2 523 = 52 300 - 1 04651 254;

b) 487 97 = 487 100 - 3 487 = 48 700 - 1 461 47 239;

v) 258 96 = 258 100-4 258 = 25 800 - 032 = 24 768. I-

6-qoida. 998 (997, 996) ga ko’paytirish. Sonni 998 (997, 996), ga ko’paytirish uchun, uni mingga ko’paytirish va hosil bo’lgan natijadan sonni ikkilanganini (uchlanganini,to’rtlanganini) ayiramiz

Qoidaning isboti 5 qoidalarga o'xshash.

Misol. а) 445 998 = 445 1 000 - 445 2 = 445 000 - 890 =444 110;

b) 247 997 = 247 1 000 - 247 3 = 247 000-741 = 246 259;

c) 836 996 = 836 1 000 - 996 4 = 836 000 - 3 344 = 832 656.

-2, -3,-4 (n4) ga ko’paytirish qoidalarini huddi shunday ifodalash va isbotlash mumkin.

2-usul. Ko’paytmaning ko’paytuvchilardan birini ikkita son yig’indisi sifatida ifodalanilishi. Ko’paytmaning ko’paytuvchilaridan birini ikkita son yig’indisi sifatida ifodalaniladi,ikkinchi ko’paytuvchi har bir qo’shiluvchiga ko’paytiriladi,keyin hosil bo’lgan ko’paytmalar qo’shilinadi.

Berilgan usul qator qoidalarni ifodalashga imkon beradi.

7-qoida. 11 (101, 1001) ga ko’paytirish.Sonni 11 (101,1001) ga ko’paytirish uchun, uni 10 baravar oshirib hosil bo’lgan natijaga shu sonni qo’shib qo’yish kifoya.

Isbot. а — berilgan son bo’lsin. а 10 + а ifodasi, 11ga ko’paytirish qoidasiga asoslanib sodda, а 11 shakliga ega bo’ladi. Demak, а 11 = а 10 + а. Shuni isbotlash talab qilingan edi.

101 va 1001ga ko’paytirish qoidalari xuddi shunday isbotlanadi

Misol, а) 87 11 = 87 10 + 87 = 870 + 87 = 957;

b) 294 101 = 294 100 + 294 = 29 400 + 294 = 29 694; .

c) 6 397 1 001 = 6 397 1 000 + 6 397 = 6.397 000 + 6397 -641 397.

+ 1 (п 4) ga ko’paytirish qoidalarini huddi shunday ifodalash va isbotlash mumkin.

11, 101, 99ga ko’paytirishning qiziqarli qoidasi mavjud.

8 - qoida. Ikki xonali sonni 11ga ko’paytirish. Ikki xonali sonni 11ga ko’paytirish uchun, uning raqamlarining orasiga raqamlarning yig’indisini qo’yish kifoya. Agar hosil bo’gan yig’indi ikki xonali bo’lsa,birliklarni berilgan sonning raqamlari orasiga qo’yiladi, o’nliklari esa birinchi raqamga qo’shiladi.

Isbot. 10а + b— berilgan son bo’lsin. а 10² + (а +b) 10 +b ifodasi, qoidaga asoslanib, sodda 11(10а + b) shakliga ega bo’ladi. Demak, (10а+b) 11= а10² + (a+ b) 10 + b. Shuni isbotlash talab qilingan edi.

Misol. 5311 ifodaning qiymatini topish uchun quyidagilarni amalga oshiramiz:

1. 
   Yig’indini topamiz :5 + 3 = 8;
   
2. 
   53 sonining raqamlarining orasini ochib, 8 raqamini qo’yamiz va javobga ega bo’lamiz: 5311 = 583.
   

Misol. 5811 ifodaning qiymatini topish uchun quyidagilarni amalga oshiramiz:

1) Yig’indini topamiz : 5 + 8=13;

2) 58 sonining raqamlarining orasini ochib, 3 raqamini qo’yamiz,o’nlikni birga oshirib (5 + 1 = 6) va javobga ega bo’lamiz: 5811= 638.

9 - qoida. Ikki xonali sonni 101ga ko’paytirish. Ikki xonali sonni 101ga ko’paytirish uchun o’sha sonni o’n tarafga ko’chirib qo’yish kifoya.

Isbot. 10а + b — berilgan son bo’lsin. (10а+b) 10² + 10а+b ifodasi, qoidaga asoslanib, sodda (10а+ b) 101 shakliga ega bo’ladi.. Demak, (10а+ b) 101=(10а+ b) 100+ 10а + b. Shuni isbotlash talab qilingan edi.

Misol. 72 101 = 7272.

10 - qoida. Ikki xonali sonni 99ga ko’paytirish. Ikki xonali sonni 99ga ko’paytirish uchun oldidagi songa uning 100gacha bo’lgan to’ldiruvchisini yozib qo’yish kifoya.

Isbot. 10а + b — berilgan son bo’lsin. (10а + b - 1) 10² + (100- 10а - b), ifodasi, qoidaga asoslanib, sodda 99 (10 а + b) shakliga ega bo’ladi. Demak, (10а +b) 99 = (10а + b - 1) 100 + (100 - 10а- b). Shuni isbotlash talab qilingan edi.

Misol. 73 99 = 7 227.

3 - usul. 9 ta o’nlikdan iborat ikki xonali sonni ko’paytirish. 9 ta o’nlikdan iborat ikki xonali sonni ko’paytirish uchun, ikkinchi sonning 100gacha bo’lgan to’ldiruvchisini topib, birinchi sondan ayirib va natijaga berilgan sonlarning 100 gacha bo’lgan to’ldiruvchilarini yozib qo’yish kifoya.

Isbot. 90 + а va 90 + b — berilgan son bo’lsin, 10-аи10-b — ularning to’ldiruvchilari bo’lsin. Qoidaga asoslanib (90 + а - (10 - b)) 100 + (10 - а) (10 - b) = (90 + а - 10 + b) 100+ 100-10b- 10a + ab = 9 000 + 100а- 1 000+ 100b+ 100 – 10b - 10а+ ab = 8 100 + 90 (а + b) + ab= (90 + а) (90 + b) ) ifodasini tuzamiz va shaklini almashtiramiz. Demak,(90 + а) (90 + b) = (90 + а - (10 - b))100 + (10 - а ) (10 - b). Shuni isbotlash talab qilingan edi.

Misol. 94 97 ifodaning qiymatini toppish uchun quyidagilarni amalga oshiramiz:

1. 
   Birinchi sondan ikkinchi sonning yuzgacha to’ldiruvchisini ayiramiz:
   

94 - 3 = 91;

2. 
   Berilgan sonlarning yuzgacha bo’lgan sonlarning ko’paytmasini topamiz:
   

(100-94) (100-97) = 63 = 18;

3. 
   Ko’paytmani avvalgi natijaga qo’shib natijaga ega bo’lamiz:
   

94 97 = 9 118.

4-usul. Yigirmadan kichik sonlarni ko’paytirish. Yigirmadan kichik ikki sonni ko’paytirish uchun, birinchi songa ikkinchi sonning birliklarini qo’shib, natija oxiriga nolni yozib qo’yib va birliklar ko’paytmasini qo`shish kifoya.

Isbot. А₁ =10 + а₁ va А₂ =10 + а₂ — berilgan son bo’lsin. Qoidaga asoslanib (10 + а₁ + а₂) 10 + а₁ а₂ = 100 + 10 а₁ + 10 а₂ + а₁ а₂ = 100 + 10 (а₁ + а₂) + а₁ а₂ =А₁А₂ ifodasini tuzamiz va shaklini almashtiramiz. Demak, А₁А₂= (10 + а₁ + а₂) 10 + а₁ а₂. Shuni isbotlash talab qilingan edi.

Misol. 1813 ifodaning qiymatini toppish uchun quyidagilarni amalga oshiramiz:

1. 
   Birinchi songa ikkinchi sonning birliklarini qo’shamiz:
   

18 + 3=21;

2. 
   Natijaning oxiriga nolni yozib qo’yamiz va birliklarning ko’paytmasini qo’shamiz,natijaga ega bo’lamiz:
   

210 + 8 3 = 234.

5-usul. Bo’lish usullari. Bo’lish uchun ratsional xisoblash usullari ko’paytirish qoidalari va quyidagi keyingi (bo’linmaning o’zgarishlari) xossalarda asoslanadi:

5.1 - xossa. Agar bo’liniluvchini bir necha marta oshirsak yoki kamaytirsak, bo’linma ham mos ravishda oshadi yoki kamayadi, ya'ni:,,b) [(=d)[(():=d:b)(():=d:b)].

Isbot. ,,b ,=d bo’lsin. Ko’paytmaning assotsiativ va kommutatib qoidalariga asoslanib ):=:=:=: b= db va := ):= )=d:b ga ega bo’lamiz. Demak, ):= db va :=d:b. Shuni isbotlash talab qilingan edi.

5.2 - xossa. Agar bo’luvchini bir necha marta oshirsak (kamaytirsak), bo’linma ham mos ravishda oshadi (kamayadi).

Xossaning isboti 5.1 xossasiga o'xshash.

Berilgan xossaga asoslangan xisoblash jarayonini soddalashtirishga yordam beruvchi usullarni ko’rib chiqamiz.

6 - usul. Xona birliklari bo’yicha sonlarni bo’lish. Bo’liniluvchini xona birliklari bo’yicha bo’lishni yuqori xona birliklaridan boshlanadi.

11-qoida. 2 ga bo’lish. Ikkiga bo’lish yuqori xona birliklaridan boshlaniladi.

Misol. 374 : 2 = 300 : 2 + 70 : 2 + 4 : 2 = 150 + 35 + 2 = 187.

7-usul. Bo’luvchilarni ko’paytuvchilarga ajratish. Bo’luvchini bir nechta ko’paytuvchilar ko’paytmasi sifatida ko’rsatiladi, keyin bo’linuvchi ketma-ket ravishda shu ko’paytuvchilarga bo’linadi.

Quyidagi usul qator qoidalarni ifodalashga imkon beradi.

12 – qoida. 4 (8,16) ga bo’lish. 4 (8, 16) ga bo’lish ikki (uch, to’rt) baravar ikkiga bo’lishga keltiriladi.

Misol.

а) 1 948 : 4 = 1 948 : 2 : 2 = (1 000 : 2 + 900 : 2 + 40 : 2 + 8 : 2): 2 = (500 + 450 + 20 + 4):2 = 974 :2 = 900 :2 +70:2 + 4:2 = 450 + 35 + 2 = 487;

b) 104 : 8 = (104 : 2): 4 = (52 :2): 2 = 26 : 2 = 13;

c) 256 : 16 = (256 : 2): 8 = (128 : 2 ): 4 = (64: 2): 2 = 32:2 = 16.

12- qoidaning umumlashmasi quyidagi qoida bo’ladi.

13-qoida. (п 2) ga bo’lish. ga bo’lish n-baravar 2 ga bo’lishga keltiriladi.

Isbot. а — berilgan son bo’lsin. Berilgan qoidaga asoslanib (((а : 2): 2): 2...): 2 ,bo’luvchilar sifatida n “ikkilar” bor. Sodda а : shakliga ega bo’ladi. Shuni isbotlash talab qilingan edi.

8-usul. Bo’luvchining ikkita sonning bo’linmasi sifatida ko’rinishi. Bo’luvchi ikkita sonning bo’linmasi sifatida ko’rsatilinadi, bo’linuvchi ikkinchi songa ko’paytirilinadi, keyin shu natija birinchi songa bo’liniladi.

Quyidagi usul qator qoidalarni ifodalashga imkon beradi.

14 - qoida. 5 (50, 500) ga bo’lish. Sonni 5ga bo’lish uchun, uni 2 ga ko’paytirib va natijani 10 (100, 1000) ga bo’lish kifoya.

Misol.

а) 465 : 5 = (465 2): 10 = 930 : 10 = 93;

b) 21 700 : 50 = (21 700 2) : 100 = 43 400: 100 = 434;

c) 383 000 : 500= (383 000 2) : 1 000 = 766 000 : 1 000 = 766.

14 - qoidaning umumlashmasi quyidagi qoida bo’ladi.

15- qoida. 5 ga bo’lish (п 0).

Sonni 5 bo’lish uchun ,uni 2 ga ko’paytirib va natijani bo’lish kifoya.

Isbot. а — berilgan son bo’lsin. (а 2) ifodasi, qoidaga asoslanib, sodda а : (5 ) shakliga ega bo’ladi. Demak, а : (5 ), = (а 2) ). Shuni isbotlash talab qilingan edi.

16 - qoida. 25 (250) ga bo’lish. Sonni 25 (250) ga bo’lish uchun, uni 4 ko’paytirib va 100 (1 000) ga bo’lish kifoya.

Misol.

а) 14 100 : 25 = (14 100 4) : 100 = (14 100 2 2) : 100 =

= (28 200 2) : 100 = 56 400: 100=564,

b) 521 000 : 250 = (521 000 4): 1 000 = (521 000 2 2) : 1 000 =

= (1 042 000 2) : 1 000 = 2 084 000 : 1 000 = 2 084.

16 - qoidaning umumlashmasi quyidagi qoida bo’ladi.

17 - qoida. 25 ga bo’lish (п 0). Sonni 25 ga bo’lish uchun, uni 4 ga ko’paytirish va natijani ga bo’lish kifoya.

Qoidaning isboti 15 qoidasiga o’xshash.

18- qoida. 125 (1 250)ga bo’lish. Sonni 125 ga bo’lish uchun, uni 8 ga ko’paytirish va 1 000 (10 000)ga bo’lish kifoya.

Misol, а) 201 000 : 125 = (201 0008) : 1 000 = ((201 000 2) 4) : 1 000 = (402 000 2) 2 : 1 000 = (804 000 2) : 1 000 = 1 608 000 : 1 000 = 1 608,

b) 405 000 : 1 250 = (405 000 8): 10 000 = (405 000 2) 4): 10 000 = ((810 000 2) 2): 10 000 = (1 620 000 2) : 10 000 = 3 240 000 : 10 000 = 324.

18 - qoidaning umumlashmasi quyidagi qoida bo’ladi..

19 - qoida. 125 ga bo’lish (п 0).

Sonni 125 ga bo’lish uchun, uni 8ga ko’paytirish va natijani ga bo’lish kifoya.

Qoidaning isboti 15 qoidasiga o’xshash.

8 – usuldagi sezilarsiz o’zgarishlari quyidagi 75ga bo’lish qoidasini ifodalashga yordam beradi..

20 - qoida. 75 ga bo’lish . Sonni 75 ga bo’lish uchun, uni 3 ga bo’lib, bo’linmani 4 ga ko’paytirish va natijani 100ga bo’lish kifoya.

Isbot. а — berilgan son bo’lsin. ((а : 3) 4): 100 ifodasi, qoidaga asoslanib, sodda а : 75 shakliga ega bo’ladi. Demak, а: 75 = ((а : 3 ) 4): 100. Shuni isbotlash talab qilingan edi.

Misol. 60 900 : 75 = ((60 900 : 3) 4): 100 = (20 300-4):100 = 81200: 100 = 812.

Nazorat savollari.

1. 
   Ko`paytirishning qulay usullarini aytib bering.
   
2. 
   Bo`lishning qulay usullarini aytib bering.
   

Foydalaniladigan asosiy adabiyotlar ro‘yxati

Asosiy adabiyotlar

1. 
   Xamedova N.A, Ibragimova Z, Tasetov T. Matеmatika. Darslik. T.: Turon-iqbol, 2007. 363b.(100-102 bet)
   

Qo‘shimcha adabiyotlar

1. 
   Abdullayeva B.S., Sadikova A.V., Muxitdinova M.N., Toshpo‘latova M.I., Raximova F. Matematika. TDPU. (Boshlang‘ich ta’lim va sport-tarbiyaviy ish bakalavriyat ta’lim yo‘nalishi talabalari uchun darslik) Toshkent-2012, 284 bet (128-133 betlar)