Ma’ruza va amaliy mashg’ulot chiziqli normalangan fazolar

9.1-teorema. (Ortogonallashtirish jarayoni). Bizga Evklid fazosida chiziqli bog‘lanmagan
(9.5)
elementlar sistemasi berilgan bo‘lsin. U holda Evklid fazosida quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi
(9.6)
sistema mavjud:
1) (9.6) ortonormal sistema.
2) Har bir element elementlarning chiziqli kombinatsiyasidan iborat, ya’ni

3) har bir element

ko‘rinishda tasvirlanadi.
4) (9.6) sistemaning har bir elementi 1-3 shartlar bilan bir qiymatli aniqlanadi.
Isbot. element ko‘rinishda izlanadi va

shartdan aniqlanadi. Bu yerdan
.
Ko‘rinib turibdiki, bir qiymatli aniqlanadi. Faraz qilaylik, 1-3 shartlarni qanoatlantiruvchi elementlar qurilgan bo‘lsin. Ushbu

elementni kiritamiz. Ko‘rinib turibdiki, agar bo‘lsa, bo‘ladi. tenglik (9.5) sistemaning chiziqli erkli ekanligiga zid, shuning uchun . Endi

deymiz. vektorning qurilishiga ko‘ra u vektorlarning chiziqli kombinatsiyasi va demak, ham ularning chiziqli kombinatsiyasi, ya’ni
, bu yerda
Bundan tashqari , va
,
ya’ni teorema shartlarini qanoatlantiradi. ∆
(9.5) sistemadan 1-3 shartlarni qanoatlantiruvchi (9.6) sistemaga o‘tish ortogonallashtirish jarayoni deyiladi. Ko‘rinib turibdiki, (9.5) va (9.6) sistemalardan hosil bo‘lgan qism fazolar ustma-ust tushadi. Bundan kelib chiqadiki, bu sistemalar bir vaqtda to‘la yoki to‘la emas.
9.1-natija. Har qanday separabel Evklid fazosida sanoqli ortonormal bazis mavjud.
Isbot. - Evklid fazosining hamma yerida zich sanoqli to‘plam bo‘lsin. Undan chiziqli bog‘langan elementlarni chiqarib tashlab, qolgan sistemaga ortogonallashtirish jarayonini qo‘llab, ortonormal bazisni hosil qilamiz. ∆