Mа’ruzа. Yorug’lik interferentsiyasi

Fononlar

Yuqorida ko’rdikki, kristall jismlarning atomlari o’zaro mustahkam bog’langan xolda fazoviy aniq qonuniyatlar bo’yicha joylashib kristall panjarani hosil qilar ekan. Undagi biron atom muvozanat xolatdan chiqarilsa, uning ta’siri qolgan barcha atomlarga ham uzatiladi. Ya’ni, panjaradagi biron atomning tebranishi barcha yo’nalishlar bo’yicha tarqaladi. Shuning uchun kristallning alohida atomining harakatini kuzatish o’rniga (kristall tarkibida atomlar sonining juda ko’pligi tufayli bu o’ta murakkab masala) ularning birgalikdagi kollektiv harakatini kuzatish qulay. Atomlarning birgalikda tebranma harakati kristall bo’ylab tarqalayotgan elastik to’lqinlarni hosil qiladi. Mazkur to’lqinlarning kristall chegarasidan qaytishi va interferensiyalanishi esa turg’un to’lqinlarni hosil qiladi. Ularning soni kristallning erkinlik darajasi 3N ga teng.

Bir xil atomlardan tuzilgan bir o’lchovli atomlar zanjirida turun to’lqinlarning hosil bo’lishi 13.9- rasmlarda ko’rsatilgan.

Ma’lumki, to’lqin jarayonlar to’lqin vektori (soni)  , siklik chastotasi w, fazaviy v_f=w/k va gurux tezliklar n_g = dw/dk bilan xarkaterlanadi. Rasmdan ko’rinib turibdiki, zanjir bo’ylab sodir bo’ladigan to’lqinlar chastotasi minimal w_min va maksimal w_max qiymatlar orasida bo’ladi: l_max­=2L bo’lgani uchun,

bu yerda L - zanjirning uzunligi,

l_min­=2d bo’lgani uchun,

w_max­ = K_max n_F = 2p  ,

bu yerda d - atomlar orasidagi masofa.

Bir turdagi atomlardan tashkil topgan atom zanjirida sodir bo’lgan tebranishlarni normal tebranishlar deyiladi va ular kristall bo’ylab tovush tezligida tarqaladi.

Turli massali ikki turdagi atomlardan tashkil topgan atom zanjrining tebranishlarini ko’rib chiqaylik.

14.13 - rasmda: a) - atom zanjirining muvozanat holati; b) va v) lar katta va kichik massali atomlarning qisqa to’lqinli normal tebranishlari; g) - uzun to’lqinli normal tebranishlar; ye) - optik tebranishlar.

Turli massali atomlardan tashkil topgan kristallarning elementar uyachasida 2 atom bo’ladi, Shuning uchun ularda ham akustik, yaoni atom zanjiri bo’yicha normal tebranishlar, ham uyacha ichida bir birlariga qarama-qarshi yo’nalishda turli massali atomlar, molekulalarning atomlari kabi tebranib, infraqizil to’qinlarni hosil qilishadi.

Demak, bunday kristallar ichida ham akustik, ham optik sohadagi to’lqinlar hosil bo’ladi.

Uch o’lchovli kristall panjara bo’lganda  vektorning berilgan har bir qiymati va yo’nalishi uchun turlicha qutblangan uchta tebranishlar to’g’ri keladi: ikkita ko’ngdalang va bitta bo’ylama.

Elementar uyachasida m atomi bo’lgan murakkab kristallarda uchta akustik tebranishlardan tashqari 3(m-1) optik soxadagi tebranishlar ham sodir bo’ladi.

Kvant mexanikasi amalga oshirgan hisoblarga binoan kristallda sodir bo’ladigan 3N tebranishlarning har birining energiyasi kvantlangan va ruxsat etilgan energiyalarining qiymati quyidagi

 (14.2)

ifoda bilan aniqlanadi. Mazkur ifoda kvant ossillyatorining energiyasiga teng.

Demak, kristallning to’la energiyasini taqriban bir-biriga boliq bo’lmagan 3N kvant ossillyatorlari energiyasining yiindisiga teng va energiyaning minimal kvanti ye=  w tartibida bo’ladi deb hisoblash mumkin. Bizga ma’lumki, yorulik kvantini foton deb ataladi. Xuddi shunga o’xshash kristalldagi tebranma harakat energiyasining kvantini fonon deb ataladi.

Fonon ye=  w energiyaga va  =   impulpsga ega. Fonnolar faqat kristall ichida paydo bo’ladi va ularning soni saqlanmaydi. Shuning uchun fononlarni kvazizarrachalar deyiladi.

Kristallarning issiqlik sig’mi

129. 
     Kristallarda issiqlik o’tkazuvchanlik
     
130. 
     Kristallarning tuzilishi
     

Muvozаnаtli issiqlik nurlаnishi vа uning tаsnifi.

Kristall panjaraning ichki energiyasi uni tashkil qilgan atom va molekulalar energiyalarining yiindisidan iborat. Madomiki, kristall atomlari tebranma harakatda bo’lib, fononlar hosil qilib turar ekan, u holda kristallning to’la energiyasi undagi fononlar energiyasining yiindisiga teng.

Kristall panjarasining issiqlik siimi uning xaroratini 1 gradusga orttirish uchun kerak bo’lgan issiqlik miqdorini bildiradi

Jismga yoki ular sistemasiga issiqlik berilsa, termodinamikaning 1 - qonuniga ko’ra dQ=dU+pdV=dU, chunki kristallning xajmi sezilarli o’zgarmaydi. U xolda

 , (14.4)

bu yerda dU - kristall ichki energiyasining o’zgarishi.Buni eotiborga olsak, kristallning issiqlik siimi uning xarorati 1 gradusga ortganda kristallning ichki energiyasi qanchaga o’zgarishini bildiradi.

Demak, kristall issiqlik siimini aniqlash uchun uning ichki energiyasining xaroratga bolanishini bilish kerak. Kristall kvant sistema bo’lgani uchun uning ichki energiyasini kvant statistikasi yordamida aniqlaymiz.

dU=  wdN (14.5)

 

bu yerda dN chastotalari w va w+dw oralig’ida bo’lgan kristalldagi fononlarning soni

dN=n ^. f ^. dg (13.6)

 

bundagi n=3, chunki bir xil chastotali 3 xil fononlar bir yo’nalishda tarqalishi: (ikkita ko’ndalang va bitta bo’ylama fononlar mavjud bo’lishi) mumkin;  - ipulpslari r va r+dr intervalda bo’lgan kvant holatlar zichligi;  Boze - Eynshteyn taqsimot funksiyasi, chunki fononlarning spini butun son yoki 0 ga teng va ular uchun m=0.

Endi fononning energiya va impulpslari bilan chastotasi orasidagi ma’lum bolanishlarni ye=  w va r=  w/v (v - fononning tezligi) inobatga olib, (14.6) ni quyidagicha yozamiz

 (14.7)

U holda kristalldagi chastotalari w va w+dw bo’lgan fononlarning energiyasi

 .

Bundan

 , (13.8)

bu yerda w_m =  - fononlarning maksimal chastotasi.

(14.8) dan T bo’yicha xosila olib, kristall panjara issiqlik siimining umumiy ifodasini topish mumkin. Soddalik uchun past va yuqori temperaturalardagi issiqlik sig’imini aniqlaymiz:

1-xol. Yuqori temperaturlar sohasida  w<

deb olish mumkin.

U xolda

Ya’ni

U=U₀ + 3kTN (14.9)

 

bu yerda U₀ – kristall panjaraning T = 0 dagi ichki energiyasi.

Bir mol kristallda N=N_A bo’lgani uchun U_m = 3N_A kT.

U xolda yuqori temperaturalarda kristallning molyar issiqlik siimi

 

S=dU/dT=3kN_A=3R (14.13)

(14.13) xaqiqatdan xam Dyulong va Ptilar tajribada aniqlagan natijaning aynan o’zidir.

2 -xol. Past temperaturalar so’asi  w>>kT.

(14.8) da o’zgaruvchilarni quyidagicha almashtiramiz:

x=  w/kT, x_m=  w_m/kT va  w_m=kq (14.13)

 

bu yerda q ni - Debayning xarakteristik xarorati deyiladi. Uning ma’nosi quyidagicha: xarorat 0 dan q gacha o’zgarganda kristallda chastotalari 0 dan w_m gacha mumkin bo’lgan fononlar hosil bo’ladi. q dan boshlab kristallda w_m dan katta chastotali fononlar hosil bo’lmaydi.

(14.13) dan

 (14.13)

(14.13) ni (13.8) ga qo’yamiz

bundagi

ekanini inobatga olsak,

yoki

U xolda issiqlik siimi

yoki

Demak, past temperaturalarda issiqlik siimi temperaturaning kubiga proporsional ekan

S~T³

Buning sababi shuki, xaroratning ortishi bilan fononlarning konsentrasiyasi T³ bo’yicha ortadi.

Xaroratning oraliq so’asida ichki energiya va issiqlik siimi murakkabroq o’zgaradi. Umumiy holda (14.8) dan T bo’yicha hosila olib S ni topish mumkin. harorat q ga yaqinlashgani sari fononlar konsentrasiyasining ortishi ham sekinlashadi.