Масаланинг қўйилиши, математик моделлаштиришнинг мақсад ва вазифалари

Стационар ва ностационар, эллиптик ва параболик масалаларнинг классификацияси
Агар ҳароратнинг тарқалиши вақтга боғлиқ бўлмаса, муаммо стационар дейилади. Ҳароратнинг илиқ ҳонада тарқалиши бу ҳолатга типик мисол. Иссиқлик ўтказувчанлик тенгламасида ҳарорат функциясидан вақт бўйича ҳосила нолга айланади ва биз иккинчи тартибли эллиптик тенглама бўлган Лаплас тенгламасига эга бўламиз. Лаплас тенгламасининг ягона ечимини олиш учун , масалан, чегарадаги (Дирихленинг чегаравий шартлари) ҳароратнинг ҳолатини таърифлашимиз керак. Чегара қисмида Нейман шартининг берилиши, чегаранинг қолган қисмида Дирихле шартининг берилиши ҳам Лаплас масаласининг берилган соҳанинг ички қисмида ечимининг ягоналигини таъминлайди. Масалан, Нейман бир жинсли шартининг бажарилиши қаралаётган соҳанинг чегарасидан иссиқлик ўтиши мумкин эмаслигини таъминлайди (чегара изоляция қилинган, яъни иситиш ёки совитишсиз). Нейман шартининг бутун чегарада берилиши ечимнинг ягоналиги учун етарли эмас. Исботлаш қийин эмаски, агар T (x, y, z) масаланинг ечими бўлса, T+a ҳам масаланинг ечими бўлади ( а ихтиёрий ўзгармас).
Бу турдаги масалалар (чегаравий шартлар остида эллиптик тенгламаларни ечиш) эллиптик тенгламалар учун чегаравий масалалар деб аталади.
Чегаравий ва бошланғич шартларни қандай қилиб тушуниш мумкин? Бизнинг (сонли) тажрибамиз даври t=0 вақтда қаралаётган соҳада (масалан, метал пластинка) ҳарорат ҳолатини аниқлаймиз. t=0 дан сўнг соҳанинг икки чегарасида ҳароратнинг қийматларини ўрнатамиз; y {0,1} учун Дирихле чегаравий шартларини аниқлаймиз. Қолган икки чегара учун (x  {0,1}) Нейманнинг бир жинсли шартларини келтирамиз (метал листнинг бу чегарасида иссиқлик изоляцияси ўрнатилган деб фараз қилинади).
Стационар ва ностационар ҳолларни сонли усуллар билан ечиш зарур. Ностационар масалаларни ечиш стационарга нисбатан қийинроқ. Бу масалаларнинг фарқини уларни эллиптик, параболик ва гиперболик турларга классификацияси таъкидлайди. Биз бу масалага кейинги боблардан бирида қайтамиз.

7. 
   Оддий дифференциал тенгламалар ва хусусий хосилали дифференциал тенгламалар билан ифодаланувчи табиатшунослик жараёнлари ва ходисаларнинг математик моделлари