Масаланинг қўйилиши, математик моделлаштиришнинг мақсад ва вазифалари

2.3. Диссипатив структураларнинг ҳосил бўлиши. Blowe-up структуралар.


2.5 Чизиқсиз математик моделлар. Хаос ва синэнергетика.


Параболик турдаги квазичизиқли тенгламалар учун чегаравий масалаларни интеграл муносабатлар усулида тақрибий ечиш

Квазичизиқли тенгламалар учун чегаравий масалаларни тақрибий ечишда интеграл муносабатлар (баланс) усулини қўллаймиз. Бу усулни қўллаган холда: хатоликлар тарқалишининг чекли тезлиги, ечимларни локаллаштириш, шунингдек стационар ечимга чиқиш каби чизиқсиз эффектларни аниқлаш мумкин.

Қуйидаги квазичизиқли тенгламани кўрайлик:
(2.30)

бу ерда — Лаплас оператори, — градиент белгиси, = 1, > 1, сонли ўзгармаслар. Бу тенглама [46, 48, 66, 91, 93, 94, 95] ларда кўрилган тенгламаларнинг умумлашгани бўлиб, у кўпгина физик жараёнларни ифодалайди. Масалан, хусусий холда (а=0) у чизиқсиз сохада ютилиш (е=—1) мавжуд бўлганида, манбаадан (+1), иссиқлик юбориш жараёнларини, i=0 (а= 1) бўлган холда эса ҳаракатланувчи чизиқсиз сохада иссиқлик тарқалиши жараёнини ифодалайди.

Бу тенглама орқали ифодаланадиган юқорида келтириб ўтилган хусусий холлардаги иссиқлик тарқалиши билан боғлиқ бўлган хар ҳил чизиқсиз эффектлар, [46, 48, 66, 68, 9, 75, 91, 94, 126 ва б.] ўрганиб чиқилган.
Қуйида биз (2.30) тенгламани бир ўлчовли холда тақрибий умумлашган ечимини қурамиз:
(2.31)
Бунда қуйидаги шарт ўринли бўлади:
(2.32)


, (2.33)
бу ерда

(2.31) тенгламани ва (2.32) чегаравий шартни сонли параметрларни қуйидагича олинганда қаноатлантиради:
а)
б) да;
в) да;
Шунингдек нуқтада (u) температура ва иссиқлик оқимининг узулуксизлик шарти бажарилади. Стационар тарқалиш (2.33) ни ҳисобга олиб, (2.31)— (2.32) масаланинг тақрибий ечимини қуйидаги куринишда излаймиз:
.
Иссиқлик балансининг интеграл муносабатини ҳисобга олган холда температура тўлқинининг фронти учун

дифференциал тенгламага эга бўламиз.
, (2.35)
бу ерда

(2.35) тенгламани қуйидаги кўринишда ёзиб оламиз:
(2.35’)
Энди учун мумкин бўлган холларни кўриб чиқамиз.
бўлсин. фронт хатто бўлганда хам фақат чекли масофага кўчиб ўтишини кўрсатамиз. Хақиқатан, агар тескарисини фараз қилсак, яъни бўлганда бўлса, у холда (2.35’) тенгламадан бўлганида бўлиши келиб чиқади, яъни чизиқдан юқорида функция камаяди. Бу бизнинг фаразимизга зид келади. Бундан ташқари чексизликка интилиши мумкин эмас.