Масаланинг қўйилиши, математик моделлаштиришнинг мақсад ва вазифалари

2.2 Табиий фанлардаги математик моделларга мисоллар. Математик моделларнинг чизиқсизлигига боғлиқ бўлган янги эффектлар
Математик моделлаштиришнинг классик соҳаси бу физика. Яқингача микродунё физикасида ҳисоблаш эксперименти қўлланилмаган, чунки жуда кичик параметри қўлланилган. Лекин ҳозир физика назариётчилари шу хулосага келишдики микродунёдаги жараёнлар чизиқсиз ва шунинг учун сонли усуллардан фойдаланиши керак, бунинг учун хаттоки махсус копьютерлар яратиляпти. Ҳисоблаш эксперментлари орқали математик моделларни анализ қилиш йилдан-йилга ривожланиб бормоқда. Уни 1982 йилда физика бўйича Нобель мукофотини К.Вильсон сонли текширишни талаб қиладиган элементар заррага ва критик ходисалар назариясининг фундаментал моделлари иши бўйича олган. 1979 йилда медицина бўйича Нобель мукофоти ҳисоблаш томографияси (кесишишлар натижасида жисм хажмининг тикланиши) иши учун берилган.
1982 йилда кимё бўйича Нобель мукофоти ҳисоблаш томографияси усули ва электронмикроскоп маълумотлари ёрдамида вирус структурасини тиклаш ишига берилган. Бу ишларнинг ҳар бири ҳисоблаш экспериментини талаб қилувчи математик асарларга олиб келади. Турли соҳаларда ҳисоблаш экспериментини ишлатиш жараёнида тез амалий программалар пакетидан фойдаланилади. Шу жойда замонавий программалаштириш хақида батафсил тўхталамиз. Бу ердаги асарларни яхшироқ тушуниш ва уларни ечиш учун тарихга мурожаат этамиз, қайсики амалий математикларнинг хиссаси кўпроқ. Юқорида айтилганидек биринчи программалар қўлда ёзилган, лекин ўшанда ҳам ҳисоблаш эксперменти кўп соҳаларда қўлланиши характерланган. Шуни таъкидлаш керакки бу нарса математик моделда ҳар доим ўзгартиришни талаб этмаган, яъни программист программани қайта ёзавермайди, баъзи жойларни ўзгартиради. Баъзи жойларни қолдиради. Асосий масала билан бирга ҳар доим ўзгартирилади. Агар математик модел кўпгина ўзгартиришларга учраган бўлса, янги модел тўзиш шарт эмас, эскисини такомиллаштириш керак.
Термодинамика масса, энергия ва атроф муҳит билан алмашинув мавжуд бўлмаган системадаги мувозанат жараёнларини ўрганган (Шу каби алмашинувлар мавжуд системалар очиқ деб аталади). Ушбу системаларда, йирик зарралар мажмуининг таркиби статик физика томонидан алоҳида зарраларнинг таркиби аниқ бўлсагина башорат қилиниши мумкин. Бу ўз навбатида де микроскопик (зарраларнинг алоҳида координата ва тезлиги) ва макроскопик катталикларни (концентрация, зичлик ва температура) ўрганишга имкон беради. Термодинамика муваффақиятининг сабаби статик физика билан чуқур боғлиқлигидир, XIX аср охирларда олиб борилган тадқиқотлар ушбу методлардан бошқа кенгроқ системаларни ўрганиш мумкинлигини тақозо этди.
30-йилларда чизиқли термадинамиканинг асослари пайдо бўлган бўлиб, у ўз ичиги термадинамик кучнинг чизиқли функцияси бўлмиш оқимлар иштирок этган барча ҳолатларни қамраб олган. Ушбу ёндашув жуда ҳам сермаҳсул бўлиб чиқди.
Бироқ кейинчалик маълум бўлишича, баъзи жараёнлар схемага мутаносиб эмас экан. Пригожин бошчилигидаги Брюссель илмий мактабининг олимлари чизиқсиз моделни таклиф этишди. Ушбу моделга термадинамикага хос катталиклар кирган (концентрация, температура ва ҳ.к.з.). Пригожиннинг қайтарилмас жараёнларни очиқ мувозанатсиз системалардаги назарияси бўйича ишлари 1977 йилда Нобель мукофотига сазовор бўлган.
Брюселлятор модели синергетикадаги энг машҳур математик модель ҳисобланади (ушбу ном брюселлик олимлар хотирасига атаб қўйилган). Модель тор доирадаги кимёвий реакциялардаги реагентларни фазода жойлашиши ва вақт доирасидаги ўзгаришини таърифлайди. Шунингдек, тадқиқотлар давомида кўпгина чизиқсиз системаларнинг диссипатив (ўзгарувчан) хусусияти аниқланди.
Мактабдаги кимё дарсларидан ҳаракатдаги массалар қонуни барчага танишдир. Реакцияга
Реакция ривожланиши учун x моддасининг молекулалари y молекулалари билан тўқнашиши лозим. Демак х концентрацияси кўлами бирлигида х молекулалар миқдорининг пропорционаллиги эҳтимолдир. Худди шу каби Т концентрацияси пропорционал бўлади. Пропорционаллик коэффициенти к молекулаларнинг ўлчами, тезлиги ва ҳ.к.з. ларга боғлиқ. Буларнинг ҳаммаси бир формулани акс эттиради. Агар реакцияда n молекулари, яъни x биргина y билан ўзаро таъсирга киришса, z моддаси концентрациясининг ўзгариши  пропорционалдир.
Энди моделнинг ўзига мурожаат қилайлик. Ўзгаришлар қуйидагича рўй берди:

(2-тенглама)
А ва В моддаларининг концентрацияси реакторда доимий ушлаб турилади, баъзи ўзгаришларга кўра D ва E моддалари чиқариб юборилади (йироқлаштирилади), яъни бу система очиқ ҳисобланади. Қайта алоқаларнинг тезлиги тўғри тезлигидан анча кичик деб эътироф этилади. x конценрациясини  деб белгилаб, А моддани бўлса А ва қолганларни ҳам шартли белгилаб, ҳаракатланувчи массалар қонунидан қуйидаги тенгламани ҳосил қиламиз:

Х ва Y реагентларининг концентрацияси турли нуқталарда турлича бўлади. Шунинг учун тенгламага уларнинг диффузиясини ҳисобга олувчи аъзолари ва лар киради. Мураккаб бўлмаган ўзгарувчиларни бошқа кўринишга келтирамиз.
Бирлик системаси

Бундан эса брюселлятор моделида хусусий ҳосилалар тенгламасига дуч келамиз:
(3-тенглама)
Х ва Y реакторда қолганлиги учун қуйидаги амаллар бажарилади:
(4-тенглама)
Ечиш усуллари. 3-тенгламанинг оддий ечимини , масалан вақт ўтиши билан ўзгармайдиган ва фазода стационар (бир хил) бўлган моддаларни кўриб чиқамиз. 3-тенгламада барча ҳосилалар 0 га тенг бўлади ва биз оддий алгебраик тенгламага эга бўламиз
(5-тенглама)
Унинг ягона ечими . Улар тенгламада алоҳида аҳамият касб этади. Иссиқлик структураси бўйича В моддасининг концентрацияси ва бошланғич концентрациясини тарқалишини кўздан кечириб, ечимни ўзгаришини тамоша қиламиз. Бунда албатта ЭҲМ ёрдам беради.
В моддасининг концентрацияси катта бўлмаса, бошланғич натижаларга қарамасдан вақт ўтиши билан концентрацияси ўрнатилади.
Юқоридаги ажойиб ечим (ташқи таъсирда баъзи параметрларни тарқалишини ҳосил қилувчи бошланғич маълумотларни қамраб олувчи барқарор стационарлар) кўпгина чизиқсиз системаларда мавжуд экан у термодинамик тармоқ номини олган (брюселлятор ҳолатида у ечимидир).