Масаланинг қўйилиши, математик моделлаштиришнинг мақсад ва вазифалари

1.9.Табиатнинг асосий қонунларидан математик моделларни ҳосил қилишга мисоллар
Иккита биологик популяциянинг ўзаро таъсиридаги кичик тебранишлар

• 
  Битта муҳитда N(t) ва M(t) сонли биологик популяциялар истиқомат қилсин, жумладан биринчиси ўсимликхўр, иккинчиси эса биринчи популяция вакилларини ейди.
  
• 
  N (t) ўзгариш тезлиги туғилиш ҳисобига ортиш тезлигини ифодалаган биринчи ҳади ва иккинчи популяциянинг қўшнилиги туфайли камайиш тезлиги:
  

билан аниқланади, бу ерда MN ҳад эса мажбурий камайишни (популяциянинг табиий ўлимни ҳисобга олмаймиз) ифодалайди.

• 
  Иккинчи популяциянинг сони биринчи популяциянинг сони ортиши билан ортаверади, унинг камайганлигида эса M(t) сонга пропорцинал тарзда камаяди (шунинг учун туғилиш ва тўйиниш самараси ҳисобга олинмайди):
  

Табиатнинг фундаментал қонунларидан олинадиган моделлар

Атмосфера босимини ва ҳаво зичлигини баландликка боғликликларини кўриб чиқамиз. Кўриниб турибдики, масала эмперик, лекин етарлича аниқ ва кўп йиллар қўлланилган ифодалар асосчида ечилган. Т=const температурадаги атмосфера босими:

р0=101,25 кПаскаль
ph(h)=p·e^-h/7,99
бу ерда h-баландлик, км.
h<11 км ва Т=var учун ph(h) босим ва r0 зичлик қуйидагига тенг бўлади:

Босим учун иккита формула берилган бўлиб, улардан бири ph(h) учун h баландлик ўзгариши билан ҳаво температурасини ўзгаришини ҳисобга олмайди, иккинчиси эса, p(h) учун бу факторни ҳисобга олади. Физикада ва кимёда кўплаб жараёнлар масалан, радиактив элементларнинг экспоненциал бўлинишлари, резистор орқали конденсаторнинг экспоненциал зарядланиши ва зарядсизланиши,
маятникнинг синусоидал тебранишлари ва бошқалар яхши маълум бўлган ифодалар орқали тафсифланади. Тажрибали фойдаланувчи Mathcad тизимида бундай формулалар бўйича саноқли минутларда ҳисоблашни бажариши мумкин ва керакли сонли ҳамда график маълумотларни олиши мумкин.

1.10. Атрофимиздаги олам қонунларининг чизиқсизлиги, чизиқсиз математик моделлар ва чизиқсизликнинг келиб чиқиши ҳақида.

Моделларнинг соддалиги кўп жиҳатдан чизиқлилик билан боғлиқ. Математик жиҳатдан бундай муҳим тушунчанинг маъноси суперпозиция тамойилининг тўғрилигидадир, яъни ечимларнинг ихтиёрий чизиқли комбинацияси (масалан, уларнинг йиғиндиси) ҳам масаланинг ечими бўлади. Суперпозиция тамойилидан фойдаланган ҳолда, бирон бир хусусий ҳолда ечимни топиб, умумлашган ҳолат тўғрисида ҳам фикр юритиш мумкин. Шунинг учун, умумий ҳолатнинг сифатли хусусиятлари ҳақида хусусийларига қараб фикр юритиш мумкин - иккита ечим орасида фақатгина миқдорий фарқ мавжуд. Масалан, ракета ёқилғиси оқиш тезлигини икки баравар ортиши ракета тезлигининг ҳам икки баравар ортишига, ёруғлик нурининг қайтарувчи юзага тушиш бурчагининг камайиши қайтиш бурчагининг камайишига олиб келади. Бошқа айтганда, чизиқли моделлар ҳолатида объектнинг бирон бир шароитлари ўзгаришига билдирадиган фикри уларнинг ўзгариш қийматига пропорционал.
Математик моделларни суперпозиция тамойилига бўйсунмайдиган нозиқли ҳодисаларда объектнинг бир қисми ҳатти-ҳаракатларини билиш бутун объект ҳақида маълумот бермайди. Бунда ёруғлик нурининг иккита муҳит чегарасига тушиш бурчаги синиш бурчагининг маълум бир чегарагача камайишга олиб келади. Агар тушиш бурчаги критик нуқтадан камайиб кетса, сифат ўзгаради, ёруғлик иккинчи муҳитнинг зичлиги биринчисидан камроқ бўлса, унга ўтмай қолади. Шундай қилиб, ёруғлик нурининг синиши - нозиқли жараёнга мисолдир.
Кўпгина реал жараёнлар ва уларга тўғри келувчи математик моделлар ночизиқли. Чизиқли моделлар эса фақатгина хусусий ҳол бўлиб, ҳақикатга тақрибан яқинлашган бўлади. Масалан, популяцион моделлар ресурсларнинг чекланганлигини ҳисобга олганда ночизиқли бўлиб қолади. Уларни чиқаришда қуйидаги ҳолатлар ҳисобга олинади:
1) атроф муҳит таъминлаб бериши мумкин бўлган аҳолининг Np «мувозанат» сони мавжуд;
2) аҳоли сонининг ўзгариш тезлиги сонни мувозанат қийматдан четланиш катталигига кўпайтмасига пропорционал (Мальтус моделидан фарқли ўлароқ), яъни:

Бу тенгламадаги (1-N/Np) ҳад аҳолининг «тўйиниш» механизмини таъминлайди,

– да ўсиш тезлиги мусбат (манфий) бўлиб, да нолга интилади.

N(0) бошланғич аҳоли сонининг турли қийматларига мос келувчи мантиқий эгри чизиқлар.

(1) - тенгламани қуйидаги кўринишда ёзамиз:

Сўнгра уни интеграллаб қуйидаги кўринишга эга бўламиз:

Интеграллаш доимийси N(t=0)= N=0 шартидан топилади, яъни

Натижада:

ёки якуний ҳолатда

N(t) функциянинг хатти-ҳаракати мантиқий эгри чизиқ билан тушунтирилади (1-расм). Ихтиёрий N(0) да аҳоли сони Np мувозанат қийматга интилади, жумладан қанчалик секин интилса, шунчалик N(t) катталик N(0) га яқин бўлади.

Мантиқий модел популяция динамикасини Мальтус моделига қараганда ҳаққонийроқ акс эттиради, лекин у зарурат туфайли ночизиқли. Демак, анча мураккаброқ бўлиб қолади. Шуни қайд этиш жоизки, тўйиниш механизми тўғрисидаги фаразлар турли фан соҳаларидаги моделларни қуришда қўлланилади.