Mashg`ulot turi: Ma’ruza. Ajratilgan soat

V –asosiy savollar bayoni.
Predikatlar va kvantoriar.
1. Predikat tushunchasi. Biz yuqorida mulohazalar algebrasi elementlari bilan tanishib chiqdik. Ko'pchilik hayotiy masalalarni tahlil qilib o'rganishda mulohazalar algebrasi apparatining o'zigina yetarli bo'lmas ekan. Masalan, faqat mulohazalar algebrasi elementlari yordamida berilgan to'plamdagi obyektlarning xossalari va ular orasidagi munosabatlarni o'rganib bo'lmaydi.
Shuning uchun ham mulohazalar algebrasining bevosita kengaytmasidan iborat bo'lgan predikatlar algebrasi qaraladi. Biz, avvalo, «Predikatning o'zi nima?» degan savolga javob beramiz.
Ushbu butun sonlar to'plami Z dagi
«x — juft son» (1)
degan darak gapni qaraylik. Bu gap mulohaza bo'la olmaydi, chunki uning chin yoki yolg'on ekanligini ayni vaqtning o'zida bir qiymatli aytib berib bo'lmaydi. Lekin, agar x ning o'rniga qaralayotgan to'plamdan tayin bir element­al, masalan, x = 5 ni qo'ysak, u
«5 — juft son» degan Yolg'on mulohazaga aylanadi. Shuningdek, shahrimizdagi yoshlar to'plamida
«x — talaba» (2)
degan gapni qarasak, u ham mulohaza bo'lmasdan, balki o'zgaruvchi x ning o'rniga qaralayotgan to'plamdan aniq bir obyektni qo'ysakgina, chin yoki yolg'on qiymat qabul qiluvchi mulohazaga aylanadi. Masalan, «Salima-talaba». Endi natural sonlar to'plami
N dagi
«x katta y dan», (3)
ya'ni « x > y » gapni qaraylik. Bu ham mulohaza bo'la olmaydi, lekin x va y o'zgaruvchilar o'rniga N to'plamdan aniq sonlarni keltirib qo'ysak, mulohazaga aylanadi.
Masalan, x= 2, y=5 deb olsak, «2>5» yolg'on mulohaza, agarda x=15, y=12 deb olsak, «15 > 12» chin mulohaza hosil bo'ladi.
(1) va (2) misollar berilgan to'plamdagi x obyektning xossasini ifodalasa, (3) misol esa x va y obyektlar orasidagi munosabatni ifodalaydi.
(1), (2), (3) singari darak gaplar umumiy mulohazalar yoki predikatlar (mantiqiy funksiyalar) deyiladi. Umuman, «predikat» tushunchasiga quyidagicha ta'rif berish mumkin.
1-ta'rif. Tarkibida o'zgaruvchilar qatnashib, bu o'zgaruvchilarning qabul qilishi mumkin bo'lgan qiymatlarida mulohazaga aylanadigan darak gap predikat deyiladi.
Predikatlar unda qatnashuvchi o'zgaruvchilar soniga qarab, 1 joyli, 2 joyli, ..., n joyli bo'lishi mumkin. Umumiylik uchun 0 joyli predikat ham qaraladi va 0 joyli predikat degan mulohaza tushuniladi.
Shunday qilib, 1 joyli predikat x obyektning xossa­sini, n (n >1) joyli predikat esa x₁, x₂, ..., x_n o'zgaruvchi obyektlar orasidagi munosabatlarni ifodalar ekan.
Bundan keyin x obyektning P xossaga ega bo'lishini P(x); x va y obyektlarning R munosabatda bo'lishini R(x; y) ko'rinishda belgilaymiz. Bularga mos ravishda bir joyli predikatlarni P(x), R(y), S(z), ..., ikki joyli predikatlarni P(x; y), R(x; y), S(x; y), ...; n joyli predikatlarni P(x₁, x₂, ...,x_n), R(x₁, x₂, ..., x_n), S(x₁, x₂, ..., x_n), ... ko'rinishlarda belgilaymiz.
Endi A to'plamdagi P(x) predikat berilgan bo'lsin va E = {e; r}esa faqat 2 ta e va r elementlardan tuzilgan to'plam bo'lsin. U holda P(x) predikat A to'plamni E to'plamga o'tkazadi (akslantiradi), bu esa P(x): A E ko'­rinishda belgilanadi. Bu yerda A to'plam P(x) predikatning aniqlanish sohasi, E esa qiymatlari to'plami deyiladi.