Mashg’ulot

1-Misol. Quyidagi funksiyalarning tasvirlarini toping. ► a) Birlik funksiya va uning tasviri.
Xevisaydning birlik funksiyasini qaraymiz:

{ 1

Bu funksiyaning tasvirini hisoblaymiz

|

Bu tenglik

Agar
holda
shart bajarilganda o’rinli. Demak

funksiya uchun 1 va 3 shartlar bajarilib 2 shart o’rinli bo’lmasa, u

{

funksiya uchun 2 shart bajariladi va bu funksiya original bo’ladi. b) .

Bu integral demak da yaqinlashuvchi va

ya’ni

c) bu yerda ixtiyoriy haqiqiy son. Ma’lumki,

[ ]

Shuning uchun ta’rif bo’yicha

Shunday qilib

bu yerda

c) Xuddi yuqoridagi kabi amallarni bajarsak

munosabatni hosil qilamiz (tekshiring).
d) , kompleks son. Ta’rifga ko’ra

2

( )

Shunday qilib

e) Xuddi shu singari

munosabat o’rinli bo’ladi (mashq sifatida tekshiring); f) , kompleks son

Shuning uchun

bu yerda | | Demak,
g) | | (mashq sifatida tekshiring).◄
Endi har qanday original uchun tasvir mos kelishi haqidagi teoremaga o’tamiz. Quyidagi teorema o’rinli:
Teorema. Har qanday original funksiya uchun, yarim tekislikda tasvir funksiya mavjud va ushbu yarim tekislikda analitik funksiyadan iborat, bu yerda original funksiyaning o’sish ko’rsatgichi.
Natija. Agar original bo’lsa, u holda

Operatsion hisobning asosiy teoremalari.
Bevosita ta’rif yordamida tasvirni topish har doim ham mumkin bo’lavermaydi, chunki hisoblanishi kerak bo’lgan integral murakkablashib ketishi mumkin. Biz Laplas almashtirishining shunday xossalariga to’xtalamizki, ular bir qancha sinfdagi funksiyalarning tasvirini topish imkonini beradi. Bundan tashqari ular tasvir ma’lum bo’lsa, originalni tiklash usullarini ifodalaydi.